3. Визначення математичного очікування і дисперсії функції випадкових величин
Випадкова величина часто є функцією кількох випадкових величин, тобто Z= f(x1, x2, … ,xn). Будемо вважати, що x1, x2, … ,xn незалежні, а математичні очікування і дисперсія величин x1, x2, … ,xn задані або отримані з експерименту. Необхідно визначити математичне очікування і дисперсію величини Z.
Якщо Z= f(x1, x2, … ,xn) мало змінюється всередині тієї області, в якій зосереджена велика частина маси ймовірності, то [7]
(а)
(b)
Де
знак ( -)0вказує на те, що приватні похідні
беруться в точках
Розглянемо приклад.
Н
ехай
задані математичні очікування і дисперсії
випадкових величин Х1 і Х2. Випадкова
величина
.
Користуючись формулами (а) і (b), одержимо
(
c )
(d)
Якщо
;
;
=0.3;
(
c ) і (d), отримаємо
IV. Порівняння емпіричних характеристик розподілу з теоретичними
В
ряді задач виникає необхідність в оцінці
випадковості розбіжності між теоретичними
та експериментальними параметрами
розподілів, тобто між МХ і
;
і S;
Кт
і Кэ. Така необхідність виникає, наприклад,
у таких випадках:
а)
до досліду теоретично розраховані
величини МХ,
,
Кт.
За результатами вибірки необхідно
перевірити правильність теоретичних
обчислень;
б) виходячи з ряду технологічних та інших факторів, робиться припущення про численні значення параметрів розподілу. Обґрунтованість цього припущення піддається перевірці за допомогою експериментальних даних;
в) для вивчення стійкості технологічного процесу, для якого вже відомі основні параметри та характеристики розподілу, робляться вибірки через визначені проміжки часу. Обчислені потім емпіричні характеристики порівнюються з наявними теоретичними.
I. Оцінка випадкової розбіжності між заданим математичним очікуванимі вибірковим середнім
а) Обсяг вибірки N < 20.
Нехай апріорі відомо, що для генеральної сукупності МХ і , наприклад, рівні МХ = а = 9,70 і = 0,2. Приймемо також, що випадкова величина прийняла у вибірці наступні значення: = 9,77; 9,76; 9,79; 9,78; 9,82; 9,77; 9,78.
Тоді
Визначаємо параметр t.
В
додатку IX знаходимо, що для
t = 1,06 і
k = N – 1 = 7 – 1 = 6; S (t)
Ймовірність того, що розбіжність між
і
а випадково, рівна 1 – S (t) = 0,177. Зазвичай
вважають, що розбіжність суттєва, якщо
1 – S(t)≤ 0,05 чи 0,01. У прикладі розбіжність
між
і
а несуттєва, тобто випадкова, і тому
теоретичне значення МХ підтверджується
експериментом.
б) Об’єм вибірки
N > 20.
Нижченаведений
спосіб оцінки застосуємо для розподілів,
що не набагато відрізняються від
нормального.
Приймемо, що апріорі
відомо МХ = а = 0;
=
0,0467.
Для вибірки обсягом N = 200
отримали
0,0284
(див. табл. 5).
Оцінимо, чи істотна
розбіжність між
.
Обчислюємо [
]
= 0,0284.Обчислюємо
В додатку VI для даного t знаходимо ймовірність Ф(t) і множимо на два, тобто знаходимо ймовірність 2Ф(t). Ймовірність розбіжності між дорівнює 1 – 2Ф(t) Для t = 8,6 з додатку VI отримуємо, що Ф(t) > 0,499998; звідси 2Ф(t) > 0,999996; [1 – 2Ф(t)] < 0,000004, тобто розбіжність між суттєва . Зазвичай приймають, що якщо [1 – 2Ф(t)] < 0,05, або 0,01, то розбіжність суттєва. Цю ймовірність (0,05 або 0,01) називають рівнем значимості. Його приймають рівним тому чи іншому значенню в залежності від вимог до надійності отриманих результатів.