I. Основні поняття і визначення теорій математичної статистики

Випробуванням називають реалізацію деяких правил, умов. Наприклад, випробуванням буде контроль придатності виробів прохідними і непрохідними калібрами, визначення величини розміру виробу, обробленого на верстаті. Явища, що виходять в результаті випробування, називаються подіями. Подіями будуть: поява бракованого виробу при контролі калібрами, отримання певного розміру виробу при його вимірюванні. У теорії ймовірностей зазвичай розглядаються масові випробування, тобто випробування, які відбуваються при незмінних основних умовах неодноразово.

Події поділяються на наступні.

1. Подія називається достовірною, якщо в результаті даного випробування воно обов'язково відбудеться. Наприклад, поява бракованого примірника в партії забракованих виробів буде достовірною подією.

2. Подія називається неможливою, якщо в результаті даного випробування воно відбутися не може. Наприклад, поява придатного примірника в партії непридатних виробів буде неможливою подією.

3. Подія називається випадковою (або можливою), якщо в результаті даного випробовування вона може відбутися, але може і не відбутися. Наприклад, поява бракованого примірника в партії виготовлених виробів при несталому або недослідженому технологічному процесі є випадковою (або можливою) подією.

4. Дві події називаються несумісними, якщо при випробуванні поява однієї з них виключає можливість появи іншої. Наприклад, прохідність прохідної і непрохідної сторін калібру при контролі придатної деталі є події несумісні.

5. Дві події називаються спільними, якщо при випробуванні поява однієї з них не виключає можливість появи іншої. Наприклад прохідність прохідної і непрохідної сторін калібру при контролі бракованої деталі є події спільні.

6. Події називаються єдино можливими, коли при випробуванні відбудеться хоча б одна з цих подій. Наприклад, при контролі виробів калібрами єдино можливими подіями буде поява або не поява бракованого виробу, для придатних виробів єдино можливими подіями є прохідність через прохідний калібр і непрохідність через непрохідний калібр.

7. Якщо при випробуванні можуть з'явитися кілька можливих подій, і при цьому немає підстави припускати, що поява одних вірогідніша появи інших, то такі події називають рівно можливими. Наприклад, партія виробів містить 10 пронумерованих бракованих виробів. При вийманні з партії у нас немає підстави припускати, що поява того чи іншого номера бракованого іншого.

Ймовірністю події називається відношення числа випадків, сприяючих на здійснення даної події, до всього числа несумісних, єдино можливих і одно-можливих подій.

де Р (А) ймовірність події А;

m - число випадків, що сприяють настанню події А;

N- число несумісних, єдино можливих і рівно можливих подій.

Наприклад, нехай задано допуск на діаметр0,1+0.1. Вироби, що виходять за верхню і нижню межі допуску, вважаються бракованими, а які лежать всередині поля допуску - придатними. Припустимо, що партія, що складається з N = 1000 виробів містить m1= 15 виробів, що виходять за верхню межу допуску,m2= 18 виробів, що виходять за нижню межу допуску. В цьому випадку вірогідність появи в партії бракованого виробу при випробуванні буде дорівнювати

Якщо m = N то )= = 1 – подія А достовірна.

Якщо m = 0, то Р (А) = 0 – подія не можлива.

Випадковою величиною називають величину, яка в результаті досвіду може приймати різні значення. Наприклад, витяг з партії бракованого виробу є випадкова величина, яка може приймати значення «+» при появі бракованого виробу, і значення «-» при його не появі. Величина розміру обробленого на верстаті придатного виробу є також випадкова величина, яка може приймати будь-яке значення в межах заданого поля допуску. Випадкові величини зазвичай позначають великими буквами, наприклад –X. Значення випадкової величини, які вона приймає в результаті досвіду, позначають малими літерами x1,x2,…xn. При масових випробуваннях кожне з можливих значень випадкової величини x1,x2…xn, може зустрітися m1,m2…,mn.Ці числа називають частотами. Якщо всього було проведено N випробувань, тобто , то відношення називають відносною частотою.

Сукупність, що містить всі досліджувані вироби, називається генеральною сукупністю. Вибрані з генеральної сукупності N виробів утворюють вибірку обсягу N.

Дискретними випадковими величинами називають такі, які можуть приймати лише певні значення, наприклад: 0,1; 0,2; 0,3 і т. д.

Безперервними випадковими величинами називають такі, які в деяких інтервалах можуть приймати будь-яке значення.

Число бракованих виробів у різних вибірках з генеральної сукупності є дискретною випадковою величиною, а розмір цих виробів – безперервна випадкова величина.

Таблиця 1. Дискретна випадкова величина задана, якщо є ймовірність кожного її значення.

X				…
P(X= )	P( )	P( )	P( )	…	P( )

Всяку безперервну випадкову величину можна задати у вигляді дискретної якщо всі можливі її значення розбити на інтервали і задати ймовірності появи цих інтервалів (через обмеженість вимірювальних засобів всі виміри безперервних величин задаються в дискретному вигляді).

Дамо поняття щільності та інтегральної функції розподілу випадкових величин.

Якщо X– випадкова величина, а х - деяке її значення, то ймовірність того, що X<х дорівнює

(1)

деF(x)– деяка функція, названа інтегральною функцією розподілу (рис. 1). На рис. 1 F(х) –ордината кривої в деякій точці х. При будь-якому x 0≤F(x)≤1 .

Рис. 1

Щільність ймовірності φ(x) є межа відношення ймовірності того, що випадкова

величина X прийме значення, що лежить між х і х + Δх, до величини інтервалу Δx при Δx→0, тобто

Функцію φ(х) називають також диференціальним законом розподілу.

φ(х) і F(x) пов'язані співвідношенням

F (x) = P ( X<x ) = (2a)

Рис.2

Будемо вважати, що випадкова величина задана теоретичним законом, якщо задані її інтегральний закон або її щільність ймовірностей. У додатку I наведені графіки і функції щільності найбільш поширених розподілів.

Випадкова величина задана емпіричним законом розподілу, якщо для кожного значення випадкової величини відома частота зустрічності, отримана з N дослідів (табл. 2).

Таблиця 2. Випадкові величини задані емпіричним законом розподілу

Значення	Х1	Х2	Х3	…	Хn
Частоти	m 1	m 2	m 3	…	M n
Частоти				…

При N → ∞

Будь-яке теоретичне розподілення характеризується величиною своїх основних параметрів: математичним очікуванням МХ (центром групування) і дисперсією DX (величиною розсіювання).

Для дискретної випадкової величини (див. табл. 1).

(3)

(4)

Для безперервної випадкової величини, заданої щільності ймовірності φ (х) (рис. 2), математичне очікування і дисперсія рівні:

або

Формули (5), (6) застосовуються для тих випадків, коли випадкова величина приймає значення від а до b; формули (7), (8) – коли х змінюється від - ∞ до ∞.

φ називається середнім квадратичним відхиленням або стандартом.

Емпіричне розподіл характеризується середнім значенням х, рівним

або

Середнє значення характеризується центром групування значень випадкової величини. При досить великому N (N→∞) вибіркове значення X прагне за величиною до математичного очікування, тобто х ≈ МХ.

Величина розсіювання вибіркових значень навколо їх середнього значення характеризується емпіричної дисперсією S2 , рівною

(10)

Для N≥25 замість формули (10) користуються формулою (10а)

, де a2= (10a)

називається емпіричним середнім квадратичним відхиленням.

При N→∞ S2 ≈ DX

Крім середнього значення і дисперсії, криві розподілу характеризуються також асиметрією (А) і ексцесом (Е)

(11)

Якщо А = 0, то крива симетрична. Якщо А> 0 - крива має позитивну асиметрію, а якщо А <0 - негативну (рис. 3).

Рис.3

Рис.4

Ексцес характеризує кривизну кривої. В якості кривої з нульовим ексцесом прийнята крива нормального розподілу, що має щільність ймовірностей (див. додаток I)

де а = МХ – математичне очікування;

ϭ2 - дисперсія.

Якщо Е > 0, то говорять, що є позитивний ексцес, тобто вершина кривої знаходиться вище кривої нормального розподілу. Якщо Е<0 - є негативний ексцес, і вершина кривої знаходиться нижче вершини кривої нормального розподілу (рис. 4).

Рис.5

У багатьох технічних додатках [1], [2], [6] функції розподілу характеризуються коефіцієнтом відносного розсіювання (К), коефіцієнтом відносної Асиметрії (α) і величиною практичного граничного поля розсіювання. Дамо визначення цих понять.

Припустимо, що похибки відхилень розмірів виробів від їх номінального значення задані функцією щільності ф (х) і величинами параметрів МХ, DХ (рис. 5). Приймемо номінальне значення як початок координат.

Практично граничним полем розсіювання називається відстань між такими двомазначеннямиt1 і t2 випадкової величини, при яких площа, обмежена кривою, віссю абсцис і відрізком [t1, t2], дорівнює 1-2β, де 2β – ймовірність ризику (браку). Зазвичай приймають 2β = 0,0027. За визначенням можна на писати

На практиці зазвичай t1it2 вибирають так, що

Визначене таким чином практичного граничного поля розсіювання приймають за поле допуску, тобто 2ϭt=t2-t1

Введемо позначення:

ϭт = - половина поля допуску,

Δt - координата середини поля допуску (рис. 5),

- коефіцієнт відносної асиметрії,

- коефіцієнт відносного розсіювання, де

(індекс «т» при Δ, δ, α, К вказує на теоретичне значення цих коефіцієнтів. Ці ж коефіцієнти, що визначаються для емпіричних розподілів, матимуть надалі індекс "э" і позначатися Δэ, δэ, αэ, Кэ).

У тих випадках, коли метою експерименту є лише визначення або уточнення значень коефіцієнтів α і К відносно заданого конструктором поля допуску, коефіцієнтів αэ і Кэ що не підлягають перегляду, визначаються за формулами:

При цьому може виявитися, що задане конструктором поле допуску не відповідає практично граничному полю розсіювання, тобто ймовірність ризику (браку) не дорівнює

2β = 0,0027.

Практично граничне поле розсіювання виявляється не рівним полю допуску у тих випадках, коли за величиною поля допуску приймається вся зона розсіювання R , рівна різниці між максимальним і мінімальним значеннями випадкової величини у вибірці, тобто

R = Xmax– Xmin.