1. Вирівнювання по закону максвелла при початковому двомірному розподілі

У випадку двомірного початкового закону за випадкову величину приймається

де х і у підпорядковані закону Гауса з математичними очікуваннями 0 і однаковими дисперсіями

Інтегральний закон має вигляд

чи, підставивши , отримаємо

Функція табульована ( додаток ХІV ).

Послідовність вирахування розглянемо на прикладі даних, приведених в табл.1

(приклад взятий з [8]).

Таблиця 1

При вирівнюванні по закону Максвелла за слід брати не середину інтервалів, а його

крайні більші значення.

Вираховуємо середнє значення і середнє квадратичне відхилення величини r.

* Випадкова величина r змінюється від 0 до нескінченності. При вирівнюванні по даному закону на це необхідно звертати увагу. Векторні случай ні величини будемо позначати через r.

По значенню визначаємо нормального закону по осям координат (див. додаток І).

Визначаємо (колонка 5).

Для визначених по додатку ХІV знаходимо значення

Віднімаючи з наступного значення попереднє, знаходимо – ймовірності інтервалів (колонка 7).

Умноживши на , отримуємо значення частот вирівняної кривої.

На рис.1 приведені емпірична і вирівняна крива Максвелла.

Рис. 1

2. Вирівнювання по закону модуля різності

Функція щільності має вигляд :

де

a– математичне очікування ;

дисперсія величини ( ).

Розглянемо приклад (табл.2).

Таблиця 2

Для даної вибірки знаходимо

Знаходимо

За додатком XV знаходимо для . Отримуємо (необхідно інтерполювати).

За додатком XVІ у стовпці знаходимо для

Але то )

Заповнюємо колонку 5 табл. 2, визначаємо

Знаходимо за додатком XVІІ для даного значення значення інтегральної функції для відповідних значень (колонка 6).

Віднімаючи з наступного значення попереднє , отримаємо ймовірності інтервалів , наведені в колонці 7.

Умножаючи на , отримуємо значення частот вирівняної кривої.

На рис. 2 наведені графіки розподілу частот і .

Рис. 2

3. Вирівнювання за законом рівної ймовірності

Щільність ймовірності виражається формулою

Закон дво параметровий. Параметрами являються величини aі b.

Для цього закону

Для визначення параметрів a і b необхідно для емпіричного розподілу знайти і ,

котрі рівні:

Розраховуючи ці рівняння, отримаємо

Наведемо приклад вирівнювання за даними табл. 3

Таблиця 3

Для спрощення розрахунків перейдемо від величин (середини інтервалів) до нової випадкової величини . Для цього приймаємо за таке значення , котре рівновіддалене від першого і останнього значення . Візьмемо

Тоді

де ширина інтервалів .

Значення наведені в колонці 4.

Розраховуємо середнє значення і середнє квадратичне відхилення величини x’.

За формулами (а) розраховуємо величини .

Переходимо від випадкової величини до x

Наводимо ймовірність інтервалів.

Для середніх інтервалів

Ширина першого інтервалу рівна 0,95 – а = 0,95 – 0,9212 = 0,0288.

Тому

Ширина останнього інтервалу

Тому

Знаходимо значення частот вирівняної кривої (колонка 9).

На рис.3 наведена гістограма емпір. розподілу і вирівняного теоретичного розподілу.

Рис. 3