Достатній рівень

1. 1) Записати у порядку зростання числа ; 0,(527); 0,5(27); 0,527; 0,5(72).

2) Записати число у вигляді десяткового дробу та знайти його десяткове наближення до тисячних:

а) з недостачею; б) з надлишком; в) за правилом округлення чисел.

3) одиничного відрізка укладається у відрізку AB рівно п’ять разів. Які з частин одиничного відрізка укладуються у відрізок AB також ціле число разів і скільки?

2. Обчислити суму чисел 0,(4) і 0,(235).

3. 1) Довести, що коли числа a та b раціональні, то і число — раціональне.

2) Записати будь-яке ірраціональне число, розміщене між числами 15,1 і 15,2, вказавши спосіб утворення його десяткових знаків.

Високий рівень

1. 1) Записати два раціональні числа й ірраціональне число, розміщене між числами –0,(7) і –0,7, задавши спосіб утворення десяткових знаків ірраціонального числа.

2) Якщо за одиничний відрізок узяти відрізок OE, то довжина відрізка AB виразиться раціональним числом . Записати довжину відрізка АВ, якщо за одиничний відрізок узяти відрізок:

а) у вісім разів менший від відрізка ОЕ; б) у k разів більший від відрізка ОЕ.

3) Дано число a = 3,14(2). Записати число a у вигляді звичайного нескоротного дробу та знайти 1000a, 100a, 900a.

2. Довести, що .

3. Довести, що не існує раціонального числа, яке є коренем рівняння x³ = n, де n — натуральне число, що не є кубом натурального числа.

Вказівка. Довести методом від супротивного на основі означення раціонального числа.

ТЕМА 9. АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ

• Поняття арифметичного квадратного кореня

• Властивості арифметичних квадратних коренів; рівняння х² = а

• Арифметичний квадратний корінь з добутку і частки

• Арифметичний квадратний корінь зі степеня

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

9.1. Поняття арифметичного квадратного кореня

№ 105. Варіант 1.

1. 1) Назвати два числа, квадрати яких дорівнюють 9.

2) Як називають число, квадрат якого дорівнює числу a?

а) Квадратом числа a; б) квадратним коренем із числа a.

Скільки існує квадратних коренів (3–5):

3) з числа 0?

4) з будь-якого від’ємного дійсного числа?

5) з будь-якого додатного дійсного числа?

а) Безліч; б) жодного; в) один; г) два.

6) Якими числами є два квадратні корені з одного додатного числа:

а) оберненими числами; б) протилежними числами?

7) Як називають додатний квадратний корінь з додатного числа і квадратний корінь з числа 0:

а) алгебраїчним коренем; б) арифметичним коренем?

8) Доповнити означення.

Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа a називають…

а) будь-яке з двох чисел, квадрат якого дорівнює a; б) від’ємне число, квадрат якого дорівнює a; в) невід’ємне число (додатне число або 0), квадрат якого дорівнює a.

Як позначають (9–11):

9) арифметичний квадратний корінь з числа a;

10) від’ємний корінь з числа a;

11) обидва корені з числа a:

а) ; б) ; в) ?

12) За яких значень змінної a має смисл вираз ?

а) a — будь-яке дійсне число; б) a — від’ємне число; в) a — невід’ємне число (додатне число або 0).

13) Порівняти з нулем вираз .

а) ; б) або ; в) .

14) За якої умови виконується рівність , де a > 0?

а) b — раціональне число і b² = a; б) b — невід’ємне дійсне число і b² = a.

15) Чому дорівнює значення виразу , якщо a  0, за означенням арифметичного квадратного кореня?

а) a²; б) a; в) 2a.

16) За якої умови рівність є правильною?

а) c — будь-яке дійсне число; б) c — від’ємне число; в) c — невід’ємне число.

17) За якої умови число a можна подати у вигляді ?

а) a — будь-яке число; б) a — від’ємне число; в) a — невід’ємне число.

2. Серед записів а)–е)

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

вказати (1–3):

1) два, що позначають арифметичні квадратні корені;

2) два, що позначають від’ємні квадратні корені;

3) два, що не мають смислу.

Серед записів а)–е)

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

вказати (4–5):

4) три, що є додатними числами;

5) три, що не мають смислу.

Вказати квадратні корені з числа (6–7):

6) 4:

а) –16 і 16; б) –2 і 2.

7) 900:

а) –3 і 3; б) –30 і 30; в) –300 і 300.

Вказати значення арифметичного квадратного кореня (8–12):

8)

а) –3 і 3; б) –3; в) 3.

9)

а) 20; б) –20; в) –200.

10) =…

а) ; б) ; в) – .

11)

а) 0,9; б) –0,9; в) –0,09.

12)

а) ; б) ; в) .

Вказати значення виразу (13–16):

13) :

а) не існує; б) 2; в) –2.

14) :

а) 30; б) –30; в) не існує.

15) :

а) ; б) 11; в) 11².

16) :

а) ; б) 0,7²; в) 0,7.

Вказати, у якому із записів а)–в) подано у вигляді квадрата число (17–18):

17) 5:

а) ; б) ; в) .

18) :

а) ; б) ; в) .

Вказати допустимі значення змінної x у виразі (19–22):

19) :

а) усі невід’ємні числа; б) від’ємні числа; в) усі дійсні числа.

20) – :

а) усі дійсні числа; б) усі невід’ємні числа; в) усі недодатні числа.

21) :

а) усі дійсні числа, крім 0; б) усі дійсні числа; в) усі невід’ємні числа.

22) :

а) усі дійсні числа; б) усі невід’ємні числа; в) усі недодатні числа.

3. Використовуючи знак , записати (1–3):

1) арифметичні квадратні корені із числа: 5; 123; ; 0,02;

2) від’ємні квадратні корені із числа: 7; 128; ; 0,03;

3) обидва корені із числа: 3; 72; ; 0,2.

4) Записати три вирази зі знаком , що не мають смислу.

Знайти значення кореня (5–10):

5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Знайти значення виразу (11–14):

11) ; 12) ; 13) ; 14) .

Подати у вигляді квадрата число (15–16):

15) 3; 16) 29.

Знайти допустимі значення змінної b у виразі (17–20):

17) ; 18) ; 19) ; 20) – .

№ 106. Варіант 2.

1. 1) Квадратним коренем із числа x називають число, ___________ якого дорівнює ______.

2) Квадратний корінь не існує з будь-якого __________________ числа.

3) Число ______ має один квадратний корінь.

4) Будь-яке __________________________ має два квадратні корені.

5) Квадратні корені з одного додатного числа є __________ числами.

6) Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа a називають ___________________ число, квадрат якого дорівнює ______.

7) Арифметичний квадратний корінь із числа x позначають ______.

8) Від’ємний квадратний корінь із числа x позначають ______.

9) Обидва корені із числа x позначають __________.

10) Вираз не має смислу, якщо x — _______________ число.

11) Число b є значенням арифметичного кореня з числа a, тобто , тоді і тільки тоді, коли виконуються дві умови:

1) ________________________, 2)__________.

12) Якщо a  0, то за означенням арифметичного квадратного кореня =__________.

14) Будь-яке додатне число m можна подати як квадрат числа так: m = (______)².

15) Якщо , то _________.

2. Серед записів а)–е)

а) ; б) ; в) ; г) – ; д) ; е)

вказати (1–3):

1) два, що позначають арифметичні квадратні корені;

2) два, що позначають від’ємні квадратні корені;

3) два, що не мають смислу.

Серед записів а)–е)

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

вказати (4–5):

4) три, що є додатними числами;

5) три, що не мають смислу.

Вказати квадратні корені із числа (6–7):

6) 25:

а) –5 і 5; б) 625 і –625.

7) 4:

а) –2 і 2; б) –4 і 4; в) –16і 16.

Вказати значення арифметичного квадратного кореня (8–12):

8)

а) –4 і 4; б) –4; в) 4.

9)

а) –30; б) 300; в) 30.

10)  = ...

а) ; б) ; в) .

11)

а) 0,06; б) 0,6; в) 0,006.

12)

а) ; б) ; в) .

Вказати значення виразу (13–14):

13) :

а) не існує; б) 3; в) –3.

14) :

а) 20; б) –20; в) не існує.

15) :

а) ; б) 17²; в) 17.

16) :

а) ; б) 0,3²; в) 0,3.

Вказати, у якому із записів подано у вигляді квадрата число (17–18):

17) 7:

а) ; б) ; в) .

18) :

а) ; б) ; в) .

Вказати допустимі значення змінної c у виразі (19–22):

19) :

а) усі невід’ємні числа; б) усі від’ємні числа; в) усі дійсні числа.

20) – :

а) усі дійсні числа; б) усі невід’ємні числа; в) усі недодатні числа.

21) :

а) усі дійсні числа, крім 0; б) усі дійсні числа; в) усі невід’ємні числа.

22) :

а) усі дійсні числа; б) усі невід’ємні числа; в) усі недодатні числа.

3. Використовуючи знак , записати (1–3):

1) арифметичний квадратний корінь із числа: 7; 123; ; 0,05;

2) від’ємний квадратний корінь із числа: 9; 73; ; 0,07;

3) обидва квадратні корені із числа: 5; 82; ; 0,4.

4) Записати три вирази зі знаком , що не мають смислу.

Знайти значення кореня (5–10):

5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Знайти значення виразу (11–14):

11) ; 12) ; 13) ; 14) .

Подати у вигляді квадрата число (15–16):

15) 7; 16) 39.

Знайти допустимі значення змінної m у виразі (17–20):

17) ; 18) ; 19) ; 20) .

9.2. Властивості арифметичного квадратного кореня; рівняння х² = а

№ 107. Варіант 1.

1. a і b — додатні числа, такі що a > b. Порівняти числа (1–2):

1) a² і b²:

а) a² < b²; б) a² = b²; в) a² > b².

2) і :

а) ; б) ; в) .

Вказати, скільки коренів має квадратне рівняння x² = a, якщо (3–5):

3) a — від’ємне число (a < 0):

а) два; б) жодного; в) один.

4) a — додатне число (a > 0):

а) два; б) жодного; в) більше, ніж два.

5) a = 0:

а) жодного; б) один; в) два.

6) Яке число є коренем рівняння x² = 0?

а) 1; б) 0; в) 10.

7) Вказати корені рівняння x² = a, якщо a > 0.

а) і ; б) – і (або ); в) a² і –a².

Вказати, якими числами — цілими раціональними чи ірраціональними — є числа і — корені рівняння x² = n, якщо (8–9):

8) n — натуральне число, що є квадратом деякого натурального числа (n = 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49…).

9) n — натуральне число, що не є квадратом натурального числа (n = 2; 3; 5; 6; 7; 8; 10; 11…).

10) Що є десятковим записом чисел ; ; ; ; ; … виду , де n — натуральне число, що не є квадратом деякого натурального числа?

а) Скінченний дріб; б) нескінченний періодичний дріб; в) нескінченний неперіодичний дріб.

11) Якими числами — раціональними чи ірраціональними — є числа ; ; ; виду , де a — раціональне число, а n — число, квадрат якого не дорівнює натуральному числу?

12) Що є десятковим записом чисел 5 ; –4 ; ; виду , де a — раціональне число, а n — натуральне число, квадрат якого не дорівнює натуральному числу?

а) Скінченні дроби; б) нескінченні неперіодичні дроби; в) нескінченні періодичні дроби.

2. Серед нерівностей а)–в) вказати правильну (1–2):

1) а) ; б) ; в) ;

2) а) ; б) ; в) .

Вказати усі корені рівняння (3–6):

3) x² = 25:

а) 5; б) –625 і 625; в) –5 і 5.

4) x² = 7:

а) –49 і 49; б) – і ; в) –7 і 7.

5) :

а) немає коренів; б) ; в) і .

6) x² = –12:

а) –12; б) і ; в) немає коренів.

Серед рівнянь а)–е)

а) x² = 49; б) x² = 47; в) x² = 23; г) x² = 25; д) x² = 100; е) x² = 99

вказати (7–8):

7) три, коренями яких є цілі числа;

8) три, коренями яких є ірраціональні числа.

9) Серед арифметичних квадратних коренів а)–е) вказати три, що є ірраціональними числами:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

10) Серед арифметичних коренів а)–е) вказати три, десятковим записом яких є нескінченні неперіодичні дроби:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3. Порівняти арифметичні корені (1–3):

1) і ; 2) і ; 3) і .

Розв’язати рівняння (4–6):

4) x² = 49; 5) x² = 19; 6) x² = –19.

7) Записати усі арифметичні квадратні корені з натуральних чисел від 1 до 10, які є ірраціональними числами.

8) Записати усі квадратні корені з натуральних чисел від 50 до 150, що є раціональними числами.

№ 108. Варіант 2.

1. 1) Якщо a і b два додатні числа і a > b, то _____ .

2) Якщо , то a _____ b.

Рівняння x² = a (3–5):

3) не має коренів, якщо a ______;

4) має один корінь, якщо a ______;

5) має два корені, якщо a ______.

6) Коренями рівняння x² = m, якщо m > 0, є числа _________.

7) Десятковим записом чисел ; ; ; ; ; ; …; , де n — натуральне число, що не є квадратом натурального числа є ____________________ дріб.

Ірраціональність чисел виду , де n — натуральне число, що не є квадратом натурального числа, доводять (8–9):

8) методом _____________________;

9) на основі означення ___________________числа.

2. Серед нерівностей а)–в) вказати правильну (1–2):

1) а) ; б) ; в) .

2) а) ; б) ; в) .

Вказати усі корені рівняння (3–6):

3) x² = 4:

а) –4 і 4; б) –16і 16; в) –2 і 2.

4) x² = –21:

а) – і ; б) –21; в) немає коренів.

5) x² = 35:

а) немає коренів; б) і ; в) –35² і 35².

6) x² =  :

а) немає коренів; б) і ; в) і .

Серед рівнянь а)–е)

а) x² = 9; б) x² = 3; в) x² = 17; г) x² = 99; д) x² = 64; е) x² = 36

вказати (7–8):

7) три, коренями яких є цілі числа;

8) три, коренями яких є ірраціональні числа.

9) Серед арифметичних квадратних коренів а)–е) вказати три, що є ірраціональними числами:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

10) Серед арифметичних квадратних коренів а)–е) вказати три, десятковим записом яких є нескінченні неперіодичні дроби:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3. Порівняти арифметичні корені (1–3):

1) і ; 2) і ; 3) і .

Розв’язати рівняння (4–6):

4) x² = 81; 5) x² = 29; 6) x² = –31.

7) Записати усі арифметичні квадратні корені з натуральних чисел від 5 до 17, які є ірраціональними числами.

8) Записати усі арифметичні квадратні корені з натуральних чисел від 22 до 122, які є раціональними числами.