Середній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) ; 3) .

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Знайти дріб, що дорівнює , у якого знаменник на 10 менший від чисельника.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) ;

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Знаменник дробу на 5 більший від його чисельника. Якщо до чисельника дробу додати 11, а від знаменника відняти 1, то вийде дріб, обернений даному. Знайти цей дріб.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за 40 днів. Перший робітник, працюючи сам, міг би виконати цю роботу в 2 разу швидше, ніж інший. За скільки днів кожен з робітників, працюючи окремо, міг би виконати цю роботу?

2. Розв’язати рівняння .

3. Дано рівняння з параметром.

а) Знайти корінь рівняння, якщо а = 3; а = 10; а = –1; б) Встановити значення а, за яких рівняння не має розв’язків.

№71. Варіант 3.

Середній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) ; 3) .

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Знайти число, яке потрібно додати до чисельника і знаменника дробу , щоб дріб збільшився удвічі.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) .

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Катер проходить 160 км за течією річки за той же час, що й 140 км проти течії. Знайти власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Одне з чисел на 31 більше від іншого. Якщо суму цих чисел поділити на більше з них, то неповна частка дорівнюватиме 1, а остача дорівнюватиме 14. Знайти ці числа.

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати рівняння з параметром а .

№72. Варіант 4.

Середній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) ; 3) ;

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Знайти число, яке потрібно додати до чисельника і знаменника дробу , щоб дріб збільшився у 5 разів.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) .

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Моторний човен проходить 100 км за течією річки за той же час, що й 64 км проти течії. Знайти власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Одне з чисел на 18 більше від іншого. Якщо суму цих чисел поділити на більше з них, то неповна частка дорівнюватиме 1, а остача — 10. Знайти ці числа.

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати рівняння з параметром а.

№73. Варіант 5.

Середній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) ; 3) .

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Знайти дріб, що дорівнює , у якого сума чисельника та знаменника дорівнює 63.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) .

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Чисельник дробу на 4 менший від знаменника. Якщо чисельник даного дробу збільшити на 5, а знаменник збільшити на 10, то значення даного дробу не зміниться. Знайти цей дріб.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Сума двох чисел дорівнює 7. Якщо більше з чисел поділити на менше, то неповна частка дорівнюватиме 5, а остача — 3. Знайти ці числа.

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати рівняння з параметрами а та b.

№74. Варіант 6.

Середній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) ; 3) .

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Знайти дріб, що дорівнює , у якого сума чисельника та знаменника дорівнює 50.

Достатній рівень

Розв’язати рівняння (1–2):

1. 1) ; 2) .

2. .

3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Чисельник дробу на 11 менший від знаменника. Якщо чисельник даного дробу збільшити на 5, а знаменник збільшити на 16, то значення даного дробу не зміниться. Знайти цей дріб.

Високий рівень

1. 1) Розв’язати рівняння .

2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.

Одне з чисел на 14 більше від іншого. Якщо більше із цих чисел поділити на менше, то одержали неповна частка 3, а остача 5. Знайти ці числа.

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати рівняння з параметрами а і b.

ТЕМА 7. СТЕПІНЬ З ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ

• Поняття степеня з цілим показником

• Властивості степеня з цілим показником

• Стандартний вигляд додатного числа

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

7.1. Поняття степеня з цілим показником

№ 75. Варіант 1.

1. Яка спільна назва записів (1–4)?

1) 5²; 7¹¹; 0¹⁶; (–5)¹³; ; (–0,7)²¹ виду aⁿ, де a — будь-яке число, а n — натуральне число;

2) 5^–1; 7^–11; (–5)^–13; ; (–0,7)^–21 виду a^–n, де a — будь-яке число, відмінне від нуля, а –n — число, протилежне до натурального числа n;

3) 1⁰; 5⁰; ; виду a⁰, де a  0;

4) 5¹; 5^–1; 7¹¹; (–9)^–11; виду a^m, де a — будь-яке число, відмінне від 0, а m — ціле число.

Чому дорівнює за означенням (5–8)?

5) aⁿ — степінь числа a з натуральним показником n, більшим від 1:

а) ; б) ?

6) a¹, де a — будь-яке дійсне число:

а) 0; б) 1; в) a.

7) a^–n, де a  0, n — натуральне число:

а) ; б) –aⁿ; в) aⁿ.

8) a⁰, де a — відмінне від 0:

а) 0; б) 1; в) a.

Вказати допустимі значення змінної a у тотожності (9–12):

9) , де n — натуральне число:

а) a — будь-яке число; б) a — будь-яке число, крім 0; в) a — будь-яке додатне число.

10)  :

а) a — будь-яке число; б) a — додатне число; в) a — будь-яке число, відмінне від 0.

11) a⁰ = 1:

а) a — будь-яке число; б) a — додатне число; в) a — будь-яке число, відмінне від 0.

12)  , де n — натуральне число:

а) a — будь-яке число; б) будь-яке додатне число; в) a — будь-яке число, відмінне від 0.

13) Чому дорівнює добуток a^–n  aⁿ?

а) 0; б) 1; в) a.

14) Якими числами є a^–n і aⁿ?

а) Протилежними; б) оберненими; в) рівними.

Яким числом — додатним чи від’ємним — є (15–17):

15) степінь додатного числа з будь-яким цілим показником;

16) степінь від’ємного числа з парним показником або з показником, протилежним до парного числа;

17) степінь від’ємного числа з непарним показником або показником, протилежним до непарного числа?

Яким числом — додатним чи від’ємним — є кожний зі степенів (18–20)?

18) 5³; 5^–3; 9^–41; виду a^m, де a — додатне число, m — ціле число;

19) (–5)⁴; (–17)⁶; (–5)^–4; (–17)^–6; ; виду a^2k або a^–2k, де a — від’ємне число; 2k — парне натуральне;

20) (–5)⁷; (–17)⁹; (–5)^–11; (–17)^–13; ; виду a^2k–1 або a^–(2k–1), де a — від’ємне число; 2k – 1 — непарне натуральне число.

2. Серед записів а)–е)

а) 0⁰; б) ; в) (0,7)^–5; г) ; б) (–7)¹¹; е) 7⁰

вказати (1–4):

1) два степені з натуральними показниками;

2) два степені з цілими від’ємними показниками;

3) степінь з нульовим показником;

4) вираз, що не має смислу.

Вказати вираз, якому дорівнює степінь (5–10):

5) a⁵:

а) a + a + a + a + а; б) a  a  a  a  а; в) a  5.

6) m¹:

а) 1; б) m; в) 0.

7) x⁰, де x  0:

а) 0; б) x; в) 1.

8) y^–13, де y  0:

а) y¹³; б) –y¹³; в) .

9) (ac)^–4, де a  c  0:

а) (ac)⁴; б) ; в) –(ac)⁴.

10) (2x + y)^–6, де 2x + y  0:

а) (–2x + y)⁶; б) ; в) .

Вказати степінь, якому дорівнює дріб (11–14):

11) , де a  0:

а) a¹⁰; б) a^–10; в) (–a)¹⁰.

12) , де x  0:

а) (–x)^–13; б) x^–13; в) (–x)¹³.

13) , де ab  0:

а) (ab)¹²; б) (ab)^–12; в) (–ab)¹².

14) , де 3a + 1  0:

а) (3a + 1)⁷; б) –(3a + 1)⁷; в) (3a + 1)^–7.

Вказати число, якому дорівнює значення степеня (15–19):

15) 2^–5 =   =…

а) 32; б) ; в) –32.

16) 7^–2 = …

а) 49; б) –49; в) .

17) (–4)^–2 =   =…

а) ; б) ; в) 16.

18) (–2)^–5 =   =…

а) ; б) ; в) –32.

19)

а) ; б) 25; в) –25.

20) Серед степенів а)–е) з від’ємною основою і від’ємним цілим показником вказати три, що є додатними числами:

а) (–13)^–3; б) (–1,4)^–10; в) (–1,4)^–11; г) (–0,2)^–15; д) (–0,2)^–14; е) (–13)^–100.

21) Серед степенів а)–е) з від’ємною основою і від’ємним цілим показником вказати три, що є від’ємними числами:

а) (–0,9)^–3; б) (–0,9)^–4; в) (–11)^–8; г) (–11)^–7; д) (–2,2)^–18; е) (–2,9)^–19.

22) Серед степенів а)–е) з показником –19 вказати три, що є від’ємними числами:

а) 2,4^–19; б) (–2,4)^–19; в) 0,5^–19; г) ; д) ; е) (–25)^–19.

3. Записати у вигляді дробу степінь (1–4):

1) a^–20; 2) x^–32; 3) (ab)^–10; 4) (3x + 5)^–14.

Записати у вигляді степеня дріб (5–8):

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Записати (9–12):

9) три додатні степені з показником –15;

10) три від’ємні степені з показником –15;

11) три степені з показником –20;

12) два степені з показником –9.

Обчислити (13–16):

13) 2^–4; 14) 9^–2; 15) (–7)^–2; 16) (–2)^–3.

№ 76. Варіант 2.

1. Доповнити записи (1–7).

1) Вирази виду aⁿ, де a — будь-яке число, а n — натуральне число, називають степенем з ________________________.

2) Вирази виду a^–n, де a  0 і n — натуральне число, називають степенем з _____________________.

3) Вирази виду a⁰, де a  0, називають степенем з ___________________.

4) aⁿ, де a — будь-яке число, n — натуральне число, більше від 1, за означенням дорівнює ____.

5) a¹, де a — будь-яке дійсне число, за означенням дорівнює ____.

6) a^–n, де a  0, –n — ціле від’ємне число, за означенням дорівнює ____.

7) a⁰, де a  0, за означенням дорівнює _____.

Допустимими значеннями змінної a у тотожності (8–11):

8) є __________________:

а) усі числа; б) усі числа, крім 0.

9) є _____________________;

10)  є ______________________;

11) a⁰ = 1 є ______________________.

12) Дріб , де a  0, m — ціле, можна подати у вигляді степеня _____;

13) Добуток степенів b^–n  bⁿ, де b  0, дорівнює ____________.

14) Числа b^–n і bⁿ є _________________ числами.

15) Степінь додатного числа з будь-яким цілим показником є числом...

а) Додатним; б) від’ємним.

16) Cтепінь від’ємного числа з парним показником або показником, протилежним до парного числа, є числом _______________.

17) Степінь від’ємного числа з непарним показником або показником, протилежним до непарного числа, є числом ______________.

18) Якщо a — додатне число, m — ціле число, то a^m є числом ________.

2. Серед записів а)–е)

а) 12⁰; б) ; в) ; г) 0⁰; б) (0,6)²¹; е) (–4,7)^–12

вказати (1–4):

1) два степені з натуральними показниками;

2) два степені з цілим від’ємним показниками;

3) степінь з нульовим показником;

4) вираз, що не має смислу.

Вказати вираз, якому дорівнює степінь (5–10):

5) a⁴:

а) a + a + a + а; б) a  a  a  а; в) a  4.

6) x¹:

а) 1; б) 0; в) x.

7) m⁰, де m  0:

а) 1; б) m; в) 0.

8) y^–14, де y  0:

а) y¹⁴; б) ; в) –y¹⁴.

9) (xy)^–6, де xy  0:

а) (xy)⁶; б) ; в) –(xy)⁶.

10) (3x – y)^–8, де 3x – y  0:

а

*9 А. Капіносов. Дид. Матеріали. Алгебра, 8 кл. Ч. І.

) (–3x – y)⁸; б) ; в) .

Вказати степінь, якому дорівнює дріб (11–14):

11) , де a  0:

а) a¹²; б) a^–12; в) (–a)¹².

12) , де x  0:

а) (–x)^–15; б) x^–15; в) (–x)¹⁵.

13) , де ac  0:

а) (ac)¹⁴; б) –(ac)¹⁴; в) (ac)^–14.

14) , де 5a + 2  0:

а) –(5a + 2)⁹; б) (5a + 2)^–9; в) (5a + 2)⁹.

Вказати число, якому дорівнює значення степеня (15–19):

15) 2^–4 =   =…

а) 16; б) –16; в) .

16) 11^–2 = …

а) 121; б) –121; в) .

17) (–5)^–2 =   =…

а) 25; б) ; в) .

18) (–2)^–6 =   =…

а) ; б) ; в) –64.

19)

а) ; б) 49; в) –49.

20) Серед степенів а)–е) з від’ємною основою і від’ємним цілим показником вказати три, що є додатними числами:

а) (–15)^–4; б) (–15)^–5; в) (–15)^–101; г) (–0,3)^–15; д) (–0,3)^–14; е) (–2,7)^–8.

21) Серед степенів а)–е) з від’ємною основою і від’ємним цілим показником вказати три, що є від’ємними числами:

а) (–16)^–10; б) (–16)^–7; в) (–3,4)^–12; г) (–3,4)^–11; д) ; е) .

22) Серед степенів а)–е) з показником –21 вказати три, що є додатними числами:

а) (–3,6)^–21; б) 3,6^–21; в) 4^–21; г) ; д) (–1)^–21; е) .

3. Записати у вигляді дробу степінь (1–4):

1) a^–29; 2) а^–34; 3) (aс)^–16; 4) (4x – 3)^–26.

Записати у вигляді степеня дріб (5–8):

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Записати (9–12):

9) три додатні степені з показником –19;

10) три від’ємні степені з показником –11;

11) три степені з показником –20;

12) два степені з показником –7.

Обчислити (13–16):

13) 2^–5; 14) 8^–2; 15) (–6)^–2; 16) (–5)^–3.