6.2. Найпростіші дробові раціональні рівняння
№67. Варіант 1.
Рівняння виду
1. 1) Чи існують дробові раціональні рівняння, які не можна звести до рівняння виду , у якого ліва частина є раціональним дробом, а права частина — число 0?
2) Вказати ціле рівняння, яке утворюється з рівняння , якщо помножити обидві його частини на вираз В(х)?
а) В(х) = 0; б) А(х) = 0.
3) За якої умови х0 — корінь цілого рівняння А(х) = 0 — є коренем дробового рівняння ?
а) А(х0) = 0 і В(х0) = 0; б) А(х0) = 0, а В(х0) 0.
Доповнити запис.
4) Щоб розв’язати рівняння виду , потрібно знайти корені рівняння А(х) = 0 і вибрати з них ті, за яких…
а) знаменник В(х) дорівнює 0; б) знаменник В(х) не дорівнює 0.
Рівняння виду
5) Вказати ціле рівняння, що утвориться
з рівняння
,
якщо помножити обидві частини рівняння
на вираз B(x) D(x)
— добуток знаменників:
?
а) А(x) D(x) = С(x) В(x); б) А(x) = С(x).
Доповнити запис.
6) Щоб розв’язати рівняння виду , можна скласти і розв’язати ціле рівняння А(x) D(x) = С(x) В(x) і вибрати з його коренів ті, за яких…
а) кожний зі знаменників В(x) і D(x) не дорівнює 0; б) кожний із чисельників А(x) і С(x) не дорівнює 0.
Рівняння виду
7) Вказати ціле рівняння, яке
утвориться з рівняння виду
,
якщо помножити обидві його частини на
вираз В(х):
?
а) А(x) = С(x); б) А(x) В(x) = С(x) В(x).
8) За якої умови х0 — корінь цілого рівняння А(x) = С(x) — є і коренем рівняння ?
а) В(х0) 0; б) А(х0) 0 і С(х0) 0.
9) Доповнити запис.
Щоб розв’язати дробове рівняння, у якого обидві частини — раціональні дроби з однаковими знаменниками, можна скласти і розв’язати ціле рівняння, частинами якого є чисельники дробів, і вибрати з коренів ті, за яких…
а) не дорівнюють 0 чисельники дробів; б) не дорівнює 0 їх однаковий знаменник.
2. Серед наведених рівнянь а)–е) вказати три, які зручно розв’язувати на основі (1–2)…
1) прирівнювання чисельників;
2) складання добутків чисельника одного дробу і знаменника іншого дробу та їх прирівнювання:
а
*8
А. Капіносов.
Дид. Матеріали. Алгебра, 8 кл. Ч. І.
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
Вказати ціле рівняння, до якого зводиться розв’язування дробового рівняння (3–5).
3) 
:
а) 2х – 5 = 0; б) х + 1 = 0.
4) 
:
а) х + 3 = х – 4; б) х + 3 = 2х; в) х – 4 = 0.
5) 
:
а) 3(х + 1) = 4х; б) х(х + 1) = 12; в) 3х = 4(х + 1).
Вказати, які з наведених рівнянь а)–в)
можна перетворити у рівняння виду
або
(6–8):
6) перенесенням доданка з однієї частини в іншу;
7) поданням однієї з частин у вигляді дробу;
8) виконанням дії в одній із частин рівняння:
а)
; б)
; в)
.
Вказати, у якому із записів а)–в) рівняння подано у вигляді або (9–12):
9) 
:
а)
; б)
.
10)
:
а)
; б)
.
11)
:
а)
; б)
; в)
.
12)
:
а)
; б)
; в)
.
3. Перейти зручним способом від дробового рівняння до цілого (1–4):
1) 
; 2)
;
3) 
; 4)
.
Подати рівняння у вигляді рівності двох раціональних дробів (5–10):
5)
; 6)
;
7)
;
8)
;
9)
; 10)
.
№68. Варіант 2.
1. Доповнити записи.
1) Щоб розв’язати рівняння, у якого ліва частина раціональний дріб, а права частина — число 0, потрібно...
— прирівняти до нуля ______________________ дробу; — розв’язати утворене ціле рівняння; — виключити з коренів цілого рівняння ті, за яких знаменник дробу _____________________.
2) Коренями рівняння є корені рівняння ______________, за яких не дорівнює 0 вираз ________________.
3) Щоб розв’язати рівняння, у якого ліва та права частини є дробами з однаковими знаменниками, потрібно...
— прирівняти _________________; — розв’язати утворене ціле рівняння; — виключити з коренів цілого рівняння ті, за яких дорівнює 0 __________________.
4) Коренями рівняння є корені рівняння ______________, за яких не дорівнює 0 вираз ___________________________.
5) Коренями рівняння є корені рівняння А(х)D(x) = _____, за яких не дорівнюють 0 вирази ______________________________.
2. Серед наведених рівнянь а)–е) вказати три, які зручно розв’язувати на основі (1–2)…
1) прирівнювання чисельників;
2) складання добутків чисельника одного дробу і знаменника іншого дробу та їх прирівнювання:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
Вказати ціле рівняння, до якого зводиться розв’язування дробового рівняння (3–5):
3) 
:
а) х – 4 = 0; б) 7х + 2 = 0.
4) 
:
а) 5х – 4 = 2х; б) х + 7 = 0; в) 5х – 4 = х + 7.
5)
:
а) 4(х + 3) = 7х; б) 4х = 7(х + 3); в) х(х + 3) = 28.
Вказати, які з наведених рівнянь а)–в) можна перетворити у рівняння виду або :
6) перенесенням доданка з однієї частини в іншу;
7) поданням однієї з частин у вигляді дробу;
8) виконанням дії в одній із частин рівняння:
а)
; б)
; в)
.
Вказати, у якому із записів а)–в) рівняння подано у вигляді або (9–12):
9) 
:
а)
; б)
.
10)
:
а)
;
б)
.
11)
:
а)
; б)
; в)
.
12)
:
а)
; б)
; в)
.
3. Перейти зручним способом до цілого дробового рівняння (1–4):
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Подати рівняння у вигляді рівності двох раціональних дробів (5–10):
5)
; 6)
;
7)
;
8)
;
9)
; 10)
.
Відтворення і застосування теорії
Самостійні роботи
№69. Варіант 1.
Середній рівень
Розв’язати рівняння (1–2):
1. 1)
; 2)
; 3)
.
2. 
.
3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.
Знайти дріб, що дорівнює , у якого знаменник на 6 більший від чисельника.
Достатній рівень
Розв’язати рівняння (1–2):
1. 1)
; 2)
.
2. 
.
3. Розв’язати задачу за допомогою рівняння.
Знаменник дробу на 4 більший від його чисельника. Якщо до чисельника дробу додати 11, а від знаменника відняти 1, то отримаємо дріб, обернений даному. Знайти цей дріб.
Високий рівень
1. 1) Розв’язати рівняння
.
2) Розв’язати задачу за допомогою рівняння.
Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за 24 дні. Перший робітник, працюючи сам, міг би виконати цю роботу в 1 рази швидше, ніж другий. За скільки днів кожний з робітників, працюючи окремо, міг би виконати цю роботу?
2. Розв’язати рівняння
.
3. Дано рівняння
з параметром.
а) Знайти корінь рівняння, якщо а = 2; а = 10; а = –1; б) Встановити значення а, за яких рівняння не має розв’язків.
№70. Варіант 2.