5. Несобственные интегралы
5.1. Основные понятия
Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.
Несобственный
интеграл от функции
от
определяется равенством
.
Если этот предел существует и конечен,
то несобственный интеграл называется
сходящимся;
если же этот предел не существует или
равен бесконечности, - расходящимся.
Аналогично:
и
.
Если
функция
имеет бесконечный разрыв в точке С
отрезка
и непрерывна при
,
то по определению полагают
Несобственный
интеграл
(где
)
называется сходящимся
если существуют оба предела в правой
части равенства, и расходящимся, если
не существует хотя бы один из них.
Пример 1.
Найти несобственный интеграл (или установить его расходимость)
Решение: т.к. подынтегральная функция чётная, то
таким
образом,
,
поэтому несобственный интеграл сходится.
Пример 2.
Найти:
(или установить его расходимость).
Решение: Подынтегральная функция при х=0 не существует, т.е. неограниченна, поэтому запишем
,
т.е. несобственный интеграл расходится.
5.2 Признаки сравнения
При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения.
Если функции
определены для всех
и интегрируемы на отрезке
,
где
,
и если
для всех
,
то из сходимости интеграла
вытекает сходимость интеграла
причём
а) Если при
функция
является бесконечно малой порядка
то интеграл
сходится при
и расходится при
б)
Если функция
определена и непрерывна в промежутке
и является бесконечно большой порядка
p
по сравнению с
при
то интеграл
сходится при
и расходится при
Пример.
Исследовать сходимость интеграла
Решение. По определению
Допустим,
что
,
тогда
,
значит интеграл сходится.
Пусть
тогда
тогда интеграл расходится.
Задания 16.
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Вариант 1.
2)
|
Вариант 2.
2)
|
Вариант 3.
2)
|
Вариант 4.
2)
|
Вариант 5.
2)
|
Вариант 6.
2)
|
Вариант 7.
2)
|
Вариант 8.
2)
|
Вариант 9.
2)
|
Вариант 10.
2)
|
Вариант 11.
2)
|
Вариант 12.
2)
|
Вариант 13.
2)
|
Вариант 14.
2)
|
Вариант 15.
2)
|
Вариант 16.
2)
|
Вариант 17.
2)
|
Вариант 18.
2)
|
Вариант 19.
2)
|
Вариант 20.
2)
|
Вариант 21.
2)
|
Вариант 22.
2)
|
Вариант 23.
2)
|
Вариант 24.
2)
|
Вариант 25.
2)
|
Вариант 26.
2)
|
Вариант 27.
2)
|
Вариант 28.
2)
|
Вариант 29.
2)
|
Вариант 30.
2)
|
