3.3 Вычисление объёмов тел
1. Объём тела с заданным поперечным сечением
П
усть
в системе координат OXYZ
имеется тело, ограниченное замкнутой
поверхностью. Пересечём данное тело
плоскостью, перпендикулярной оси Ох,
получим в сечении некоторую плоскую
фигуру с площадью
S=S(x).
Допустим,
что функция S(x)
непрерывна на
тогда объём V
данного тела вычисляется по формуле:
(9)
где
– площадь поперечного сечения,
соответствующего абсциссе х
произвольной точки оси Ох,
а
- абсциссы тех точек этой оси, через
которые проходят плоскости, ограничивающие
тело в направлении оси Ох.
Пример 9.
В
ычислить
объём тела, заданного уравнением
Решение.
Данное
тело является трёхосным эллипсоидом с
полуосями
оно
заключено между секущими плоскостями,
соответствующими значениям х=
2
и х=2.
Сечение эллипсоида плоскостью,
перпендикулярной к оси Ох,
представляет собой эллипс, уравнение
которого имеет вид:
или
.
Полуоси этого эллипса будут
По известной формуле площади эллипса
находим площадь поперечного сечения
По формуле (9) искомый объём будет равен
2. Объём тела вращения
а) Объем в прямоугольных координатах
П
усть
вокруг оси Ох
вращается криволинейная трапеция,
ограниченная осью Ох,
прямыми х
= а
и х
=b
и дугой АВ
кривой y=f(x);
где f(x)
– непрерывная, неотрицательная на
функция. Тогда эта трапеция опишет тело,
являющееся телом вращения.
Так как каждая точка М дуги АВ описывает окружность, то сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, представляет собой круг радиуса y=f(x), и значит его площадь
.
Таким образом, используя формулу (9) получаем объем тела вращения:
. (10)
Если тело образуется вращением криволинейной трапеции с CDd вокруг оси Оу, то объём такого тела, очевидно, будет вычисляться по формуле
. (10′)
Пример 10.
В
ычислить
объём тела, образованного вращением
вокруг оси Оу
криволинейной трапеции, ограниченной
осью Оу,
кривой
и прямой y=3.
Решение.
Т.к.
тело образовано вращением вокруг оси
Оу, воспользуемся формулой (10′). Поскольку
,
то
.
Е
сли
вокруг оси Ох вращается фигура А1А2В2В1,
ограниченная двумя кривыми:
и
(
)
и двумя прямыми x=a
и
x=b,
то объём V
полученного кольцеобразного тела
вращения, определяется как разность
двух объёмов:
(11).
Аналогично,
если тело образовано вращением вокруг
оси Оу
фигуры, ограниченной кривыми
и
(
)
и прямыми y=c
и y=d,
то для вычисления объёма такого тела
пользуются формулой
(11′).
Пример 11.
В
ычислить
объём тела, полученного вращением вокруг
оси Ох
фигуры, лежащей в плоскости ХОУ
и ограниченной линиями
.
Решение.
Находим
точки пересечения кривых
это точки
По
формуле (11) находим объём тела вращения,
учитывая, что в данном случае
б) Объём тела вращения в случае параметрического задания кривых.
Пусть кривая, дугой АВ которой ограничена вращающаяся вокруг оси Ох криволинейная трапеция, задана параметрически:
Тогда объём тела вращения вычисляется по формуле
(12)
где
Т
- значения параметра t,
соответствующего точкам А
и В.
Пример 12.
Вычислить объём веретенообразного тела, производимого вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной астроидой:
Решение.
И
з
соображений симметрии будем вычислять
половину искомого объёма, например
объём V1
тела, образованного вращением фигуры
ОАВ
вокруг оси Ох.
Т.к. абсциссы точек А
и В
соответственно равны 0 и 1, то пределы
интегрирования
Т
находим из уравнений:
Находим
далее
.
По формуле (12) получаем
(куб.
ед.).
Задание 9.
Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями.
1.
2.
3.
4.
5.
3
6.
7.
8.
9.
4
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
2
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание 10.
Вычислить объём тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат.
1.
Ф:
;
ось ОY.
2.
Ф:
,
;
ось ОY.
3.
Ф:
;
ось ОX.
4.
Ф:
;
ось ОX.
5. Ф: , ; ось ОY.
6.
Ф:
,
;
ось ОY.
7. Ф: , ; ось ОY.
8.
Ф:
,
;
ось ОY.
9.
Ф:
,
;
ось ОX.
10.
Ф:
;
ось ОX.
11.
Ф:
ось ОY.
12.
Ф:
ось ОX.
13.
Ф:
ось ОX.
14.
Ф:
ось ОX.
15.
Ф:
ось ОX.
16.
Ф:
ось ОY.
17.
Ф:
ось ОY.
18.
Ф:
ось ОY.
19.
Ф:
,
;
ось ОY.
20.
Ф:
;
ось ОY.
21.
Ф:
,
;
ось ОX.
22.
Ф:
,
;
ось ОX.
23.
Ф:
,
;
ось ОX.
24.
Ф:
,
;
ось ОY.
25.
Ф:
,
;
ось ОX.
26.
Ф:
,
;
ось ОX.
27.
Ф:
,
;
ось ОX.
28.
Ф:
,
;
ось ОX.
29.
Ф:
,
;
ось ОX.
30.
Ф:
,
;
ось ОY.
Задание 11.
Вычислить объём тела полученного при вращении фигуры Ф, заданной параметрическими уравнениями вокруг указанной оси координат.
1.
Ф:
ось ОХ.
2.
Ф:
ось ОХ.
3.
Ф:
ось ОY.
4.
Ф:
ось ОY.
5.
Ф:
ось ОХ.
6.
Ф:
ось ОХ.
7.
Ф:
ось ОХ.
8.
Ф:
ось ОХ.
9.
Ф:
ось ОY.
10.
Ф:
ось ОY.
11.
Ф:
ось ОХ.
12.
Ф:
ось ОY.
13.
Ф:
ось ОY.
14.
Ф:
ось ОY.
15.
Ф:
ось ОY.
16.
Ф:
ось ОХ.
17.
Ф:
ось ОХ.
18.
Ф:
ось ОХ.
19.
Ф:
ось ОХ.
20.
Ф:
ось ОХ.
21.
Ф:
ось ОY.
22.
Ф:
ось ОY.
23.
Ф:
ось ОY.
24.
Ф:
ось ОX.
25.
Ф:
ось ОY.
26.
Ф:
ось ОY.
27.
Ф:
ось ОY.
28.
Ф:
ось ОY.
29.
Ф:
ось ОY.
30.
Ф:
ось ОX.