
- •Кафедра высшей математики Определенный интеграл и его приложения
- •Определённый интеграл
- •1. Вычисление определённого интеграла
- •2.Приближённое интегрирование
- •С пособ прямоугольников.
- •С пособ трапеций.
- •Способ парабол (Симпсона).
- •2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме
- •3. Площадь криволинейного сектора
- •3.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •3.3 Вычисление объёмов тел
- •1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •2. Объём тела вращения
- •3.4. Вычисление площади поверхности вращения
- •4. Приложения определённого интеграла к решению некоторых задач физического содержания
- •4.1. Вычисление пройденного пути по скорости
- •4.2. Вычисление работы переменной силы
- •4.3. Вычисление силы давления жидкости на пластину
- •4.4. Вычисление координат центра масс плоской фигуры
- •5. Несобственные интегралы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2 Признаки сравнения
3.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
1
.
Длина дуги кривой, заданной в прямоугольных
координатах.
Пусть дуга АВ плоской кривой задана уравнением y=f(x), где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги АВ определяется по формуле
(6)
Пример 6.
Вычислить
длину дуги кривой
,
абсциссы концов которой х=1,
х=4.
Решение.
Т.к.
,
согласно формуле (6) имеем:
.
В
случае, когда кривая задана параметрическими
уравнениями x=
(t),
y=ψ(t),
где
(t),
ψ(t)
– непрерывно дифференцируемые функции,
длина дуги
вычисляется по формуле:
(7),
где
и
– значение параметра
соответствующие концам дуги А
и В,
т.е.
(t0) = a, (T) = b.
Пример 7.
Вычислить
длину дуги одной арки циклоиды
,
x=3(t
sin
t).
Решение.
Т.к. все арки циклоиды равны, рассмотрим первую ее арку, вдоль которой параметр t меняется от 0 до 2π.
Согласно формуле (7) имеем
Если
кривая задана в полярных координатах
уравнением
,
то длина дуги М1М2
вычисляется по формуле
(8)
где
и
соответствует концам дуги М1
и М2.
Пример 8.
Вычислить
длину кардиоиды
.
Решение. Находим
Т.к.
кардиоида симметрична относительно
полярной оси, то найдём длину половины
этой линии
,
изменяя полярный угол от 0 до π, а затем
удвоим результат. По формуле (8) получаем
Задание 6.
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.
№ вар |
Задание |
№ вар |
Задание |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 7.
Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
№ вар |
Задание |
№ вар |
Задание |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 8.
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
№ вар |
Задание |
№ вар |
Задание |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|