Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2222.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
5.67 Mб
Скачать

3.2 Вычисление длины дуги плоской кривой

1 . Длина дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах.

Пусть дуга АВ плоской кривой задана уравнением y=f(x), где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги АВ определяется по формуле

(6)

Пример 6.

Вычислить длину дуги кривой , абсциссы концов которой х=1, х=4.

Решение.

Т.к. , согласно формуле (6) имеем:

.

В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями x= (t), y=ψ(t), где (t), ψ(t) – непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги вычисляется по формуле:

(7),

где и – значение параметра соответствующие концам дуги А и В, т.е.

(t0) = a, (T) = b.

Пример 7.

Вычислить длину дуги одной арки циклоиды , x=3(t sin t).

Решение.

Т.к. все арки циклоиды равны, рассмотрим первую ее арку, вдоль которой параметр t меняется от 0 до 2π.

Согласно формуле (7) имеем

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , то длина дуги М1М2 вычисляется по формуле

(8)

где и соответствует концам дуги М1 и М2.

Пример 8.

Вычислить длину кардиоиды .

Решение. Находим

Т.к. кардиоида симметрична относительно полярной оси, то найдём длину половины этой линии , изменяя полярный угол от 0 до π, а затем удвоим результат. По формуле (8) получаем

Задание 6.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

вар

Задание

вар

Задание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Задание 7.

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

вар

Задание

вар

Задание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Задание 8.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

вар

Задание

вар

Задание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]