3.2 Вычисление длины дуги плоской кривой

1 . Длина дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах.

Пусть дуга АВ плоской кривой задана уравнением y=f(x), где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги АВ определяется по формуле

(6)

Пример 6.

Вычислить длину дуги кривой , абсциссы концов которой х=1, х=4.

Решение.

Т.к. , согласно формуле (6) имеем:

.

В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями x= (t), y=ψ(t), где (t), ψ(t) – непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги вычисляется по формуле:

(7),

где и – значение параметра соответствующие концам дуги А и В, т.е.

(t₀) = a, (T) = b.

Пример 7.

Вычислить длину дуги одной арки циклоиды , x=3(t sin t).

Решение.

Т.к. все арки циклоиды равны, рассмотрим первую ее арку, вдоль которой параметр t меняется от 0 до 2π.

Согласно формуле (7) имеем

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , то длина дуги М₁М₂ вычисляется по формуле

(8)

где и соответствует концам дуги М₁ и М₂.

Пример 8.

Вычислить длину кардиоиды .

Решение. Находим

Т.к. кардиоида симметрична относительно полярной оси, то найдём длину половины этой линии , изменяя полярный угол от 0 до π, а затем удвоим результат. По формуле (8) получаем

Задание 6.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

№ вар	Задание	№ вар	Задание
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30

Задание 7.

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

№ вар	Задание	№ вар	Задание
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30

Задание 8.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

№ вар	Задание	№ вар	Задание
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30