2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме

Е сли кривая АВ, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями

То площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

(4′)

Кроме того функции должны удовлетворять следующим условиям:

1. непрерывна и неотрицательна на

2. имеет непрерывную производную на

3. знакопостоянна на или если и если

П ример 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение.

Запишем параметрические уравнения эллипса:

Учитывая свойства симметрии фигуры и формулу (4) получаем

Заметим, что пределы интегрирования были найдены по формулам (4′):

3. Площадь криволинейного сектора

Иногда кривая может быть задана не в прямоугольной системе координат, а в полярной, уравнением

Площадь криволинейного сектора OM₁M₂, ограниченного дугой такой кривой и двумя полярными радиусами OM₁ и OM₂, соответствующими значениям 𝜑₁ и 𝜑₂ полярного угла, вычисляется по формуле:

(5)

Пример 6. Найти площадь кардиоиды

Решение. Кардиоида это кривая, описываемая произвольной точкой окружности круга диаметром a, катящейся без трения и скольжения по неподвижной окружности того же диаметра. Из соображений симметрии и по формуле (5) получаем:

Задание 3.

Построить фигуры, ограниченные данными линиями и вычислить их площади.

№ зад № Вар.	1	2	3	4	5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Задание 4.

Построить фигуры, ограниченные линиями, заданными параметрическими уравнениями и вычислить их площади.

1	астроида	2	арка циклоиды
3		4
5		6	астроида
7	арка циклоиды	8
9	арка циклоиды	10	астроида
11		12	арка циклоиды
13	астроида	14
15	арка циклоиды	16	астроида
17		18	астроида
19		20	арка циклоиды
21	астроида	22
23	арка циклоиды	24	астроида
25		26	арка циклоиды
27	астроида	28
29		30	арка циклоиды

Задание 5.

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах .

1	трехлепестковая роза	2	трехлепестковая роза
3	лемниската Бернулли	4
5		6	трехлепестковая роза
7		8
9	кардиоида	10	трехлепестковая роза
11		12
13	кардиоида	14	трехлепестковая роза
15	лемниската Бернулли	16
17	четырёхлепестковая роза	18	шестилепестковая роза
19	кардиоида	20	лемниската Бернулли
21		22
23	четырёхлепестковая роза	24	двухлепестковая роза
25		26
27	кардиоида	28	лемниската Бернулли
29	кардиоида	30	трёхлепестковая роза