Определённый интеграл

1. Вычисление определённого интеграла

Пусть функция f(x) определена на отрезке . Разделим отрезок на n произвольных частей точками a=x₀<x₁<x₂<…< < =b, выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку ξ и найдём длину каждого такого отрезка ∆ = .

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке называется сумма вида σ= причём эта сумма имеет конечный предел I, если для каждого ε>0 найдётся такое число δ>0, что при max неравенство выполняется при любом выборе чисел .

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке (или в пределах от ) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max ) стремится к нулю:

I=

Теорема существования определённого интеграла

Если функция f(x) непрерывна на , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки и от выбора точек ξ.

Ч исла соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Если f(x)>0 на , то определённый интеграл геометрически представляют собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями y=f(x); x=a; x=b; y=0;

Основные свойства определённого интеграла

1. .

2. .

3. .

4. .

5. (c-постоянная).

6. :

если m ≤ f(x) ≤ M на , то m∙(b-a) <

Правила вычисления определённых интегралов

1. Формула Ньютона – Лейбница:

где - первообразная для , т.е.

F′(x)=f(x).

2. Интегрирование по частям

где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

3. Замена переменной.

где функция, непрерывная вместе со своей производной , на отрезке ; a= функция непрерывная на

4. Если - чётная функция, т.е. = , то

, если - нечетная, т.е. , то .

Примеры:

1. Вычислить определённый интеграл до двух знаков после запятой

dx + 3 dx =

2. =

=x∙2∙

3) .

Тогда: при х₁=0; t₁=tg0=0,

при х₂ = ,

отсюда

3. = .

Тогда при x₁=0; t= arcsin 0 4= 4

при x₂=0,5; t= arcsin 0,5 4 =

получим

5) т.к. подынтегральная функция нечётная

, то согласно четвёртому правилу .

6)

Т.к. подынтегральная функция чётная, т.е. cos 2x=cos ( 2x), то можно также применить четвёртое правило вычисления, т.е.

= .

Задание 1.

Вычислить определённые интегралы с точностью до двух знаков после запятой.

Вариант 1. 1. 2. 3. 4.	Вариант 2. 1. 2. 3. 4.
Вариант 3. 1. 2. 3. 4.	Вариант 4. 1. 2. 3. 4.
Вариант 5. 1. 2. 3. 4.	Вариант 6. 1. 2. 3. 4.
Вариант 7. 1. 2. 3. 4.	Вариант 8. 1. 2. 3. 4.
Вариант 9. 1. 2. 3. 4.	Вариант 10. 1. 2. 3. 4.
Вариант 11. 1. 2. 3. 4.	Вариант 12. 1. 2. 3. 4.
Вариант 13. 1. 2. 3. 4.	Вариант 14. 1. 2. 3. 4.
Вариант 15 1) 2) 3) 4)	Вариант 16 1) 2) 3) 4)
Вариант 17 1) 2) 3) 4)	Вариант 18 1) 2) 3) 4)
Вариант 19 1) 2) 3) 4)	Вариант 20 1) 2) 3) 4)
Вариант 21 1) 2) 3) 4)	Вариант 22 1) 2) 3) 4)
Вариант 23 1) 2) 3) 4)	Вариант 24 1) 2) 3) 4)
Вариант 25 1) 2) 3) 4)	Вариант 26 1) 2) 3) 4)
Вариант 27 1) 2) 3) 4)	Вариант 28 1) 2) 3) 4) .
Вариант 29 1) 2) 3) . 4) .	Вариант 30 1) 2) . 3) . 4) .