Таблиця 3.3

дискретні значення	ґ(1)	порядкові номери гармонійних складових
		А1	А2			В1		В2
1
2
р+1
5ШП

Де а1, а2, ..., в1, в2... - отримані значення амплітуд гармонік по формулі (1.2); значення отриманих доданків повинні співпадати із цими значеннями.

Зміст звіту

Звіт оформлюється на стандартних листах формату А4. На титульному листі вказується міністерство, назва вузу, кафедри, найменування лабораторної роботи, фамілія студента з вказівкою групи, фамілія викладача та його звання, рік. Вміст звіту повинен включати в собі наступне:

1. Графік функції, що відповідає заданому варіанту.

2. Результати попереднього розрахункового завдання з поясненнями - вивід коефіцієнтів Фур'є.

3. Заповнену в РЕТ М8 Ехсеї розрахункову таблицю 3.1, з поясненнями та графіки гармонійних складових і їх сумарного значення.

4. Перевірку - розрахункову таблицю 3.1 та графік вихідної функції одержаний у стовпці /(і).

Контрольні питання

1. Де застосовуються абсолютні, змішанні та відносні заслання на комірки?

2. Для чого використовують імена комірок?

3. Як визначити коефіцієнти ряду Фур'є?

4. Що представляє собою швидке перетворення Фур'є?

Лабораторна робота №4 Дослідження стійкості явного метода Ейлера у РЕТ ІМ8 Ехсеї

Загальні відомості

Існує ряд всіляких чисельних процедур для аналізу перехідних процесів шляхом рішення змінних стану. Найпростіший метод - метод Ейлера, який також називають методом ломаних.

Для використання цього методу необхідно змінні стану (напруги на конденсаторах та струми в індуктивностях) представити у нормальній формі (формі задачі Коші), а саме:

(4.1)

де х - змінна, що шукається;

і - поточний час, в який розвивається динамічний процес, тобто виразити похідні від змінних саме через ці змінні.

(4.2)

Крім рівняння (4.1) необхідно знати початкові значення змінної х:

1 = 0, х = Хо

Розрахунок процесу полягає в знаходження невідомої функції х(1), яка задовольняє рівнянню (4.1) та початковим умовам (4.2). Для цього необхідно обчислити скінчену кількість значень х(і) які знаходяться у дискретні моменти часу І що розташовані на досить малій відстані жодна від іншої таким чином, щоб передати всі характерні особливості графіка змінної х в часі. Часто ці точки задають рівновіддаленими і такими, що відстають в часі на величину кроку дискретизації/!/, який називають кроком інтегрування диференціального рівняння. Крок може бути фіксований протягом всіх розрахунків.

Рис. 4.1

За визначенням похідна представляє собою тангенс кута нахилу дотичної, що проведена до графіка функції в заданій точці. На рис. 4.1 показано точне розв'язання (згладжена крива) і чисельне розв'язання (ламана). В точці х₀ побудуємо дотичну до графіка і продовжимо її до наступного моменту дискретизації. Знайдемо значення першої дискети X/, значення якої знайдемо на проведеній дотичній. Це значення і будемо вважати близьким чисельним значення пошуканої змінної в момент 1=11. Це значення відрізняється від точного значення змінної х(1/), але зменшуючи крок інтегрування можна зменшити і величину похибки.

Визначимо значення Х) користуючись наступними співвідношеннями:

(4.3)

Геометричний зміст похідної - тангенс кута дотичної можна виразити таким чином:

і _

(4.4)

Дх,

/ОоЛ)

М

Дх, =М-1§а_х = Аі-/(х₀,1₀) (4.5)

З рисунку 4.1 видно, що величину функції у момент часу І/ можна представити сумою попереднього значення функціїх₀ із приростом функції Ах,.

Підставивши у рівняння (4.4) значення приросту іїх/ одержимо наступне рівняння для значення функції у момент часу ґ/.

х₁=х₀+Ді-/(х₀,1₀) (4.6)

Аналогічним образом можна одержати вирази для значень функції у наступні моменти часу Ь. і із.

х, =х, +Лх, = х. +А(■ /їх,, (,); її .і (4.7)

х₂ =х₂ +Дх₃ = х₂ +Аі-/{х₂, (₂). Нарешті можна вивести загальну формулу для визначення значення функції у поточний момент часу, через значення цієї функції та її похідної у попередні моменти часу.

^хм =х_к+&1-/(х_к,1„). (4.8)

де** та Хк-і~ значення функції у відповідні момент часу 4 та І* Такі формули, які дозволяють обчислити значення функції у поточний момент часу використовуючи значення функції у попередні моменти часу, називаються рекурентними. Рекурентні формули знайшли широке використання в практиці чисельного інтегрування диференціальних рівнянь.

Недоліком явного метода Ейлера є спотворення результатів при збільшенні кроку інтегрування.

Мета роботи

Дослідити динамічні процеси в системах з реактивними елементами та чисельну стійкість методу Ейлера.

Попереднє розрахункове завдання

І. Скласти диференціальне рівняння для електричної схеми, згідно заданому варіанту (табл. 4. І) та представити диференціальне рівняння у формі задачі Коші.

Таблиця 4.1

Схема			№	Вихідні данні
с =	= [ Ц-		1	К=0.5 Ом; С=1 мкФ; Ус0=20 В
			2	К=1 Ом; С = 2 мкФ; Ус0=30 В
і.		>	7	К = 0.5 Ом; Ь=2 мГн; ІЬ0=10 А
			8	К=1 Ом; Ь=1 мГн; ІЬ0=20 А

2. Розв'язати складене диференціальне рівняння класичним методом або операторним методом.

3. Обчислити значення сталих часу та тривалість перехідного процесу.

Методика виконання попереднього завдання

До п. 1:

Записати рівняння для реактивних елементів у диференціальному вигляді. Похідну від напруги на конденсаторі виразити через напругу на конденсаторі і параметри схеми, а похідну від струму в індуктивності виразити через струм в індуктивності і параметри схеми. До п. 3:

Тривалість перехідного процесу залежить від сталої часу і становить (3^-5)т.

Робоче завдання

1. Реалізувати обчислювальну схему на робочому листі РЕТ М8 Ехсеї.

2. І Іровести розрахунки перехідних процесів у відповідності з таблицею варіантів.

3. По одержаним результатам побудувати графіки.

4. Визначити час перехідного процесу на побудованому графіку.

5. Дослідити метод Ейлера на чисельну стійкість.

6. Виконати перевірку рішення чисельного методу.

Методика виконання робочого завдання

До п. 1:

а) Указати у відповідних клітках вихідні параметри, а саме: початкові значення напруги на конденсаторі або струму в індуктивності, величину кроку інтегрування, значення індуктивності або заряду конденсатору, опору резистора. Позначити клітки відповідними іменами.

б) Ввести у відповідні комірки першої строки таблиці початковий момент часу нуль, початкове значення змінної стану та формулу обчислення похідної змінної стану (заповнити Табл. 4.2).

Таблиця 4.2.

Ііше	Цс (ІЬ)	(Шс/сії (сііь/ск)
0	ІІсО (ІЬО)	формула обчислення похідної
час зростає на ДІ	скопійоване попереднє значення	скопійоване попереднє значення

в) Реалізувати стовпець з дискретними значеннями часу, що відрізняються одне від другого на величину кроку інтегрування.

г) Реалізувати формулу для метода Ейлера у другій строчці стовпця змінної стану.

До п. 2:Шляхом копіювання виділеної другої строки розповсюдити розрахунок на необхідну кількість часових кроків.

До п. З Для побудови графіків виділити стовпець даних і скористатися майстром діаграм.

До п. 5: Визначити критичні кроки інтегрування при яких перехідні процеси

а) досягають нульового значення за один крок;

б) змінюють знак, але зберігають тенденцію до зменшення;

в) будуть періодично змінювати знак, але залишатися по величині незмінними;

г) мають тенденцію до збільшення.

До п. 6: Реалізувати в РЕТ М8 Ехсеї рішення диференціального рівняння та побудувати його графік.

Зміст звіту

Звіт оформлюється на стандартних листах формату А4. На титульному листі вказується міністерство, назва вузу, кафедри, найменування лабораторної роботи, фамілія студента з вказівкою групи, фамілія викладача та його звання, рік. Вміст звіту повинен включати в собі наступне:

1. Електричну схему з вказівкою заданих параметрів, згідно заданому варіанту.

2. Виведене диференціальне рівняння приведене до форми задачі Коші.

3. Рішення виведеного диференціального рівняння.

4. Часові діаграми напруги конденсатору або струму в індуктивності, побудовані в РЕТ М8 Ехсеї для критичних кроків інтегрування.

5. Графіки рішення диференціального рівняння.

6. Аналіз результатів розрахунку і відповідні висновки.