4. Задача распределения средств между предприятиями

Рассмотрим предложенную выше схему на конкретной задаче распределения средств между предприятиями.

Планируется деятельность 4 промышленных предприятий на очередной год. Необходимо между ними распределить 400 единиц ограниченного ресурса (Q). Каждое предприятие i в зависимости от объема выделенных средств x получает дополнительный доход f_i(x). Объемы получаемых дополнительных доходов в зависимости от выделенных ресурсов x представлены в таблице 1.

Таблица 1

Объем выделенных ресурсов, x	Дополнительный доход предприятия в зависимости от объема выделенных средств, fi(x)
	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)
0	0	0	0	0
80	30	28	35	27
160	57	62	67	73
240	120	122	130	125
320	150	146	144	152
400	180	175	180	178

Необходимо определить оптимальное распределение средств, обеспечивающее максимальную эффективность (доход) деятельности всех предприятий.

Показатель эффективности каждого предприятия может определяться в результате решения задачи использования ресурсов (планирования производства), математическая модель которой имеет вид:

Целевая функция при ограничениях:

- ?

Условные обозначения:

- прибыль от реализации единицы продукции каждого вида;

- объем закупаемых ресурсов;

- складские запасы ресурсов;

- план производства продукции каждого вида;

- нормы затрат ресурсов для производства единицы продукции каждого вида;

- цены на ресурсы;

- объем выделенных ресурсов;

и - соответственно минимальный (обязательства предприятия) и максимальный объем (ёмкость рынка) выпуска продукции;

k – номер предприятия.

Для определения величины дополнительного дохода каждого предприятия необходимо из величины прибыли при соответствующем объёме выделенных дополнительных средств вычесть прибыль в случае, если дополнительные средства не выделяются.

Вычисленные показатели эффективности деятельности каждого предприятия (доход, прибыль) в зависимости от объема получаемых финансовых средств в последующем используются для нахождения оптимального распределения средств между предприятиями.

Предполагается, что:

1. дополнительный доход f(х) не зависит от вложения средств в другие предприятия;

2. дополнительный доход f(х) каждого предприятия выражается в одних ус­ловных единицах;

3. совокупный дополнительный доход равен сумме дополнительных доходов, полученных каждым предприятием.

При решении задачи распределения ресурсов между проектами методами динамического программирования следует учесть взаимозаменяемость ресурсов при реализации проектов (т.е. могут использоваться одни и те же сырьевые ресурсы при реализации проектов).

Задача распределения ресурсов между предприятиями является задачей динамического программирования. Её решение содержит следующие этапы:

1. интервал изменения выделяемых средств разбивается на элементарные отрезки;

2. для заданных значений выделяемых средств определяются показатели эффективности для всех предприятий;

3. по обратной (прямой) схеме используются уравнения Беллмана;

4. в обратной (прямой) последовательности, начиная от находят оптимальные значения выделяемых средств .

Рассмотрим обратную схему Беллмана. Рекуррентные соотношения имеют вид:

Распределение ресурсов будем производить с точностью 80 единиц.

Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности 4-ого шага:

;

- показатель эффективности деятельности 1 предприятия.

- объединённый показатель эффективности деятельности 2 предприятий.

Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 2.

Таблица 2.

Объем выделенных ресурсов, x	Показатели эффективности предприятий в зависимости от объема выделенных средств, E i(x)
	E4(x)	E 3(x)	E 2(x)	E 1(x)
0	0	0	0	0
80	27	35	35	35
160	73	73	73	73
240	125	130	130	130
320	152	160	160	160
400	178	203	203	203

Объединённый показатель эффективности деятельности 3 предприятий - . Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 2.

Объединённый показатель эффективности деятельности 4 предприятий - . Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 2.

Из таблицы 2 находим оптимальный план распределения выделенных средств. В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет .

Таким образом, в результате решения задачи распределения средств между предприятиями получили, что для обеспечения максимальной эффективности деятельности (прибыли) всех предприятий, равной 203 у.е., первому и второму предприятиям согласно оптимальному распределению следует не выделять ресурсов, третьему предприятию необходимо выделить 240 единиц ресурса, четвертому – 260 единиц.