4.3. Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей:

определяется их нормальными векторами и .

1) Углом между плоскостями a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 и a₂x + b₂ y + + c₂ z + d₂ = 0 называется угол , образованный векторами нормалей и к этим плоскостям:

.

2) – условие параллельности плоскостей a₁x + b₁ y + c₁ z + + d₁ = 0 и a₂ x + b₂ y + c₂ z + d₂ = 0.

2. a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 – условие перпендикулярности плоскостей a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Это условие может быть записано в более компактном виде: , где и векторы нормалей к соответствующим плоскостям.

Пример 4.11. Найти угол между плоскостями x + 2y – 2z + 5 = 0 и x + y – 9 = 0.

Решение. Так как , ,

, ,

то .

Следовательно, угол между плоскостями .

Пример 4.12. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(–1, 3, 5) параллельно плоскости 3x + 2y – z – 5 = 0.

Решение. Вектор нормали заданной плоскости , очевидно, будет вектором нормали и искомой плоскости. Поэтому, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку, получаем:

3(x + 1) + 2(y – 3) – 1(z – 5) = 0 3x + 3 + 2y – 6 – z + 5 = 0

3x + 2y – z + 2 = 0 – уравнение искомой плоскости.

4.4. Прямая в пространстве. Уравнение прямой.

Множество точек в трехмерном пространстве, координаты которых удовлетворяют системе уравнений

(4.7)

называется прямой, проходящей через точку и параллельной вектору . Вектор называется направляющим вектором данной прямой, переменная величина , , называется параметром, а система (4.7) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве. Параметр выражается линейно через текущие координаты точки ,если :

Каноническими уравнениями прямой называют линейные зависимости между координатами точки , расположенной на прямой:

. (4.8)

Известно из геометрии, что через две точки и можно провести только одну прямую. Найдем уравнение этой прямой. Очевидно, прямая проходит через точку параллельно вектору . По формуле (4.8) уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид:

(4.9)

Прямую можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и

(4.10)

Эта система называется общими уравнениями прямой.

Направляющий вектор этой прямой перпендикулярен нормальным векторам и плоскостей и . Поэтому, можно выбрать в качестве направляющего вектора векторное произведение нормальных векторов плоскостей: . Координатами точки на прямой может служить любое частное решение системы (4.10). Таким образом, по общим уравнениям прямой (4.10) можно составлять канонические уравнения прямой

Заметим, что из каждого вида уравнений прямой в пространстве можно получить любой другой вид уравнений прямой в пространстве.

Пример 4.13. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(2,-1,4) параллельно вектору в параметрической и канонической формах.

Решение. Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

Канонические уравнения прямой имеют вид: .

Пример 4.14. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А (– 3, 1, 2) параллельно прямой:

а)  ; б)  в) 

Решение. а) Направляющий вектор заданной прямой , очевидно, является направляющим вектором искомой прямой. Поэтому: – искомое уравнение.

б) Направляющий вектор заданной прямой . Следовательно, уравнения искомой прямой .

в) Направляющим вектором искомой прямой будет вектор , где и – векторы нормалей к плоскостям x + 2y – z + 4 = 0 и 3x – y + 2z – 7 = 0.

Тогда .

Поэтому, уравнения искомой прямой: .

Пример 4.15. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(2, 3, – 5) и В (– 3, 1, 4).

Решение. Используя уравнения прямой, проходящей через две точки получаем: .

Пример 4.16. Написать канонические уравнения прямой

Решение. Найдем направляющий вектор данной прямой

.

Чтобы написать канонические уравнения прямой необходимо еще найти какую-нибудь точку на этой прямой. В качестве такой точки А(x₀, y₀, z₀) возьмем, например ту, у которой z₀ = 0, т. е. А(x₀, y₀, 0). Тогда ее координаты x₀ и y₀ обязаны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, точка А(1, 2, 0) принадлежит заданной прямой. Теперь напишем канонические уравнения этой прямой:

.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние δ от точки М₁(х₁, y₁, z₁) до прямой L:

равно длине перпендикуляра М₁М₂, проведенного из точки М₁ на прямую L (рис. 4.7).

Отрезок М₁М₂ является высотой параллелограмма, построенного на векторах и с общим началом в точке М₀(х₀, y₀, z₀).

Рис. 4.7. Расстояние от точки до прямой

Площадь этого параллелограмма с одной стороны равна произведению высоты на основание: , а с другой – по свойству векторного произведения - его длине: . Отсюда:

;

(4.11)

Пример 4.17. Найти расстояние от точки A(4; 4; 4) до прямой L, заданной каноническими уравнениями

.

Решение.

1 способ. Запишем параметрические уравнения прямой L с начальной точкой P(4; 5; 8) и направляющим вектором = (1; 2; 3):

x = 4 + t, y = 5 + 2t,  z = 8 + 3t.

Таким образом, проекция точки A на прямую L имеет вид

B(4 + t, 5 + 2t, 8 + 3t).

Чтобы найти t, необходимо воспользоваться условием ортогональности векторов  и .

Имеем

( , ) = ((1; 2; 3), (t, 1 + 2t, 4 + 3t)) = t + 2 + 4t + 12 + 9t = 14 + 14t = 0.

Отсюда t = −1, B = (3; 3; 5), = (−1, −1, 1). Окончательно, имеем

.

2 способ. По формуле (4.11) получаем:

.

Скрещивающиеся прямые

Найдем расстояние между двумя скрещивающимися прямыми L₁ и L₂:

, .

Расстоянием между прямыми называют длину общего перпендикуляра.

Геометрическое построение общего перпендикуляра начнем с простого примера двух параллельных прямых L₁ и L₃ (рис. 4.8) :

Рис. 4.8. Прямые: параллельные и скрещивающиеся

Возьмем любую точку К₁ на прямой L₁ и в плоскости, проходящей через параллельные прямые L₁ и L₃, проведем перпендикуляр К₁К_{2 к} прямой L₃. Это общий перпендикуляр к прямым L₁ и L₃ в силу их параллельности.

Будем считать, что прямые L₁ и L₃ расположены в параллельных плоскостях Р₁ и Р₂, проходящих через точки К₁ и К₂, перпендикулярно вектору . Проведем в плоскости Р₂ через точку К₂ прямую L₂, пересекающую прямую L₃ . Тогда К₁К₂ - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых L₁ и L₂. Заметим, что длина перпендикуляра К₁К₂ равна расстоянию между параллельными плоскостями Р₁ и Р₂. Уравнение прямой К₁К₂ задается пересечением плоскостей Q₁ и Q₂, проходящих через прямые L₁ и L₂, перпендикулярно плоскостям Р₁ и Р₂.

Теперь рассмотрим любые две скрещивающиеся прямые L₁ и L₂. Сначала построим их общий перпендикуляр.

Проведем плоскость Р₁ через прямую L₁ параллельно прямой L₂ и плоскость Р₂ - через прямую L₂ параллельно прямой L₁. Направляющие векторы прямых и образуют направляющее векторное пространство параллельных плоскостей Р₁ и Р₂.

Далее, через прямую L₁ и прямую L₂ проведем плоскости Q₁ и Q₂, перпендикулярные плоскостям Р₁ и Р₂. Прямая, задаваемая пересечением плоскостей Q₁ и Q₂, перпендикулярна параллельным плоскостям Р₁ и Р₂. Отрезок К₁К₂, заключенный между плоскостями Р₁ и Р₂, является общим перпендикуляром скрещивающихся прямых L₁ и L₂. Его длина равна как расстоянию между прямыми L₁ и L₂, так и расстоянию между плоскостями Р₁ и Р₂.

Для нахождения длины общего перпендикуляра прямых L₁ и L₂ построим параллелепипед по трем векторам с общим началом в точке М₁.

Основание параллелограмма с вершиной в точке М₁ расположено в плоскости Р₁, а основание с вершиной в точке М₂ в плоскости Р₂. Оба основания построены по векторам и . Поэтому площадь параллелограмма в основаниях равна длине вектора :

.

Объем параллелепипеда определим по смешанному произведению векторов , и .

.

Расстояние между плоскостями Р₁ и Р₂ равно высоте рассмотренного выше параллелепипеда и может быть вычислено по формуле .

.

Уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых задаются пересечением плоскостей Q₁ и Q₂, проходящих соответственно через прямые L₁ и L₂ перпендикулярно параллельным плоскостям Р₁ и Р₂ :

(Уравнение плоскости Q₂)

Направляющими векторами плоскостей Q₁ и Q₂, соответственно, являются пары и , где - нормальный вектор плоскостей Р₁ и Р₂ .

Нормальные векторы плоскостей Q₁ и Q₂ определяются векторными произведениями и .

Пример 4.18. Составить уравнения общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым

и найти расстояние между ними.

Решение.

Плоскость, параллельная обеим прямым, перпендикулярна вектору:

.

В качестве нормали этой плоскости можно взять вектор =(2; 1; 4) коллинеарный . Общий перпендикуляр к данным прямым представляет собой пересечение плоскостей

или, после упрощения,

3x − 2y − z − 6 = 0, 5x + 34y − 11z – 38 = 0.

Отсюда получаем - уравнение общего перпендикуляра.

Далее,

,

,

.