Геометрические свойства смешанного произведения:

1. Объем параллелепипеда ( ), построенного на векторах

, , определяется формулой:

Рис. 4.4. Геометрический смысл векторного и смешанного произведения

2. Объем пирамиды , построенной на векторах

, , :

.

Рис. 4.5. Геометрический смысл векторного и смешанного произведения

2. Высота h₃ пирамиды (параллелепипеда), построенной на векторах , , , (см. рис. 2.11) вычисляется по формуле:

.

2. Условие компланарности векторов

, , :

или

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Пример 4.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  = (–3, 2, 5) и  = (1, 3, –2).

Решение. Сначала вычислим векторное произведение векторов и :

.

.

Пример 4.2. Найти площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин: А(1, –1, 2), В(–3, 2, –1), С(4, 2, 1).

Решение. Можно считать, что треугольник АВС построен на векторах и . Вычислим векторное произведение этих векторов: .

Теперь найдем площадь треугольника АВС:

.

Пример 4.3. Вычислить смешанное произведение векторов = (2, –1, 3),  = (1, 4, –2) и  = (–3, 2, 5).

Решение. Сначала вычислим векторное произведение векторов и :

.

Теперь вычислим смешанное произведение векторов , и :

.

Пример 4.4. А(3, –2, 5), В(1, 3, –2), С(0, 1, 1) и D(–4, 0, –3) – вершины пирамиды АВСD. Найти ее объем и высоту, опущенную из вершины D.

Решение. Можно считать, что пирамида АВСD построена на векторах , и . Вычислим векторное произведение векторов и :

,

а затем смешанное произведение векторов , и :

.

Теперь найдем объем пирамиды АВСD:

.

.

Пример 4.5. Лежат ли точки А(3, –1, 2), В(–2, 2, 5), С(1, 4, 2) и D(0, 1, –2) в одной плоскости?

Решение. Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то векторы , и – компланарны. В этом случае смешанное произведение векторов должно быть равным нулю. Вычислим смешанное произведение векторов , и :

,

.

Следовательно, векторы , и не компланарны и, значит, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.

4.2. Плоскость в пространстве

Пусть в пространстве задана точка и линейно независимые векторы и . Множество точек , координаты которых удовлетворяют системе уравнений:

(4.1)

называется плоскостью, проходящей через точку параллельно векторам и . Рассмотрим геометрическую интерпретацию формулы (1). Перенесем начало векторов и в точку и проведем через точку пересекающиеся прямые и в направлении векторов и . Как известно из геометрии, через две прямые можно провести только одну плоскость. Координаты точек этой плоскости вычисляются по формуле (4.1), которую называют параметрическим уравнением плоскости.

Запишем формулу (4.1) в эквивалентной векторной форме: = + . Это уравнение означает, что вектор есть линейная комбинация векторов и а, следовательно, соотношения (4.1) можно написать в виде:

(4.2)

(определитель равен нулю, т.к. его первая строка является линейной комбинацией второй и третьей строк).

Из элементарной геометрии известно, что через три точки , , , лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и причем только одну.

Найдем уравнение этой плоскости. Для этого возьмем точку и построим векторы и . Эти векторы линейно независимые ( не коллинеарные) , т.к. точки , не лежат на одной прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно вектoрам и имеет вид:

(4.3)

(уравнение плоскости, проходящей через три точки , ).

Пусть плоскость пересекает координатные оси соответственно в точках , , (плоскость отсекает от осей отрезки ) Тогда ее уравнение по формуле (4.3) имеет вид:

.

Раскрывая определитель, имеем: .

Разделив это уравнение на abc, получаем уравнение плоскости в отрезках на осях:

(4.4)

Из уравнений (4.2), (4.3) и (4.4) видно, что зависимость между координатами текущей точки линейная.

Так, раскрывая определитель (4.2) по элементам первой строки получаем:

,

_Где ; ; . Вектор =(a,b,c) перпендикулярен вектору _{, т.к.}

в силу (4.2). Докажем, что множество точек является плоскостью, если координаты этих точек удовлетворяют линейному уравнению

(4.5)

.

Действительно, пусть, например, , тогда уравнение (4.5) можно решить относительно x : .Введем вспомогательные переменные параметры и . Тогда получим систему уравнений, эквивалентную исходному уравнению

Это параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и Выражение (4.5) называют общим уравнением плоскости.

Пусть - частное решение уравнения (4.5) , тогда

.

Вычитая это равенство из уравнения (4.5) , получаем

(4.6)

Обозначим и - текущий вектор данной плоскости с началом в точке . Из условия (4.6) следует, что , т.е. . Отсюда следует, что - нормальный вектор плоскости (4.5). Формулу (4.6) называют уравнением плоскости, проходящей через точку А(x₀, y₀, z₀), перпендикулярно вектору .

Пример 4.6.

а) Записать уравнение плоскости в параметрической форме, если она проходит через точку М₀(1,0,-1) и параллельно векторам , .

Решение. Подставляя координаты точки М₀ и координаты векторов , в формулу (4.1), получаем:

б) Записать общее уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1,0,-1) и параллельно векторам , .

Решение. Подставим координаты точки М₀ и координаты векторов , в формулу (4.2):

.

Раскрывая определитель, получаем:

.

- общее уравнение данной плоскости.

Пример 4.7. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку A(1; 2; 3) перпендикулярно вектору = (2; −1; 3).

Решение.

Уравнение плоскости имеет вид a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0, т.е.

2(x − 1) − (y − 2) + 3(z − 3) = 0, 2x − y + 3z − 9 = 0.

Пример 4.8. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки A(2; 1; 3), B(−1; 2; 5), C(3; 0; 1).

Решение.

Уравнение плоскости по формуле (4.3) имеет вид

Раскрывая определитель, получаем: 2y − z + 1 = 0.

Пример 4.9. Составить уравнение плоскости в отрезках на осях, если эта плоскость пересекает оси координат в точках А(3,0,0), В(0,-4,0), С(0,0,5).

Решение.

Плоскость отсекает отрезок а = 3 от оси Ох, отрезок b = -4 от оси Оy и c = 5 от оси Оz. По формуле (4.4) ее уравнение имеет вид:

.

Расстояние точки М₁(x₁, y₁, z₁) от плоскости ax + by + cz + d = 0 вычисляется по формуле:

.

Действительно, пусть - точка вне плоскости и - точка на данной плоскости, - вектор нормали данной плоскости. Тогда (см. рис. 4.6):

Рис. 4.6. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость .

,

,

.

Так как , то .

Пример 4.10. Найти расстояние от точки A(2; 3; 1)  до плоскости x + y + z = 1.

Решение.

Имеем:

.