4. Методы аналитической геометрии в 3-х мерном эвклидовом пространстве

4.1. Декартовы координаты

Будем считать, что в пространстве введены прямоугольные декартовы координаты. Пусть О (0;0;0) - начало координат - взаимно перпендикулярные оси ; - единичные орты этих осей.

Найдем их скалярные произведения:

, , ,

, , ,

, , .

Таким образом, векторы , , образуют ортонормированный базис, поскольку и векторы , , ортогональны. Этот базис мы будем называть стандартным базисом пространства R³.

Каждой точке М(x,y,z) соответствует радиус-вектор _, каждой паре точек , соответствует вектор . Если М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂) – концы отрезка М₁М₂, а точка М(х, у, z) делит этот отрезок в отношении , то координаты этой точки:

; ; .

Если М(х, у, z) – середина отрезка М₁М₂, то и

, , .

Любой вектор обозначается двумя буквами с чертой или стрелкой над ними, причем первая буква указывает начало вектора, а вторая – его конец. Вектор может быть обозначен также одной буквой латинского алфавита , . Длину или модуль вектора обозначают в виде , | |. Вектор может быть приложен к любой точке А пространства.

Суммой двух векторов и называется третий вектор + , который идет из начала первого вектора в конец второго , если второй вектор выходит из конца первого (рис. 4.1)

Рис. 4.1. Сложение векторов

Разностью двух векторов и называется третий вектор - , который представляет собой сумму вектора и вектора, противоположного вектору , т.е. - = + (- ) (рис. 4.2)

Рис. 4.2. Разность векторов

Произведением вектора на число λ называется вектор, обозначаемый λ , такой, что:

1) |λ | = |λ| | |;

2) векторы и λ имеют одно направление, если λ > 0, и противоположное, если λ < 0.

Если вектор составляет угол φ с осью Ох, то проекцией вектора на эту ось называется произведение модуля вектора на косинус угла φ:

пр_х = | | cos φ.

Проекция суммы векторов и на ось Ох равна сумме проекций этих векторов на эту ось:

пр_х ( + ) = пр_х + пр_х .

В трехмерном пространстве Oxyz вектор может быть представлен разложением по координатному базису в виде:

,

где - единичные базисные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси;

x, y, z – проекции вектора на оси координат.

Длина (модуль) вектора определяется через проекции по формуле:

.

Косинусы углов α, β, γ, образованных вектором с осями координат, находятся в виде соотношений

, , .

Они называются направляющими косинусами.

Равенство = (x, y, z) используется для выражения вектора через его проекции на заданные координатные оси.

Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. Условие коллинеарности двух векторов = (x₁, y₁, z₁) и = (x₂, y₂, z₂) записываются в виде:

= λ ,

где λ – числовой множитель.

Через координаты это условие записывается в виде:

.

Для каждой пары векторов ; определены:

_а) скалярное произведение:

_{б) длина вектора , где}

в) Углы между векторами вычисляются по формуле:

_{г) векторное произведение :}

Свойства векторного произведения векторов и :

1) вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;

2) вектор направлен так, что если смотреть с его конца, то поворот первого вектора ко второму вектору на кратчайший угол проходит против часовой стрелки;

3) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. .

Рис. 4.3. Геометрический смысл векторного произведения

4) площадь треугольника, построенного на векторах и , равна ;

5) ,

6) ,

7) ,

8) если векторы и коллинеарны, то . В частности, .

д) смешанное произведение трех векторов , , есть число, обозначаемое