Контрольные вопросы

1. Дать определение системы счисления.

2. Пояснить отличия позиционной и непозиционной системы счислении.

3. Дать определение разряда, разрядности и основания системы счисления.

4. Записать трехразрядные коды на все сочетания.

5. Определить по формуле число возможный кодовых комбинаций в 8-и и 11-и

разрядном коде на все сочетания.

6. Записать десятичное число 7639 в двоично - десятичной системе счисления.

7. Записать двоичное число 0110 0101 0000 0001 в шестнадцатеричной системе

счисления.

Тема 1.2 Формы представление двоичных чисел

Студент должен

знать:

- естественную и нормальную форму представления двоичных чисел;

- представление двоичных чисел в дополнительном коде;

- выполнение операций над числами с плавающей запятой;

- выполнение арифметических операций над числами, представленными в

дополнительных кодах.

Представление чисел в ЭВМ в естественном и нормальном виде. Выполнение

операций над числами, представленными в нормальной форме. Использование

в ЭВМ дополнительных кодов двоичного числа. Выполнение операций над

числами, представленными в дополнительных кодах.

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

- естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);

- нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

В форме представления с фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой,

от­деляющей целую часть от дробной.

Например: в десятичной системе счисления имеется 5 разрядов в целой части чи­сла (до запятой) и 5 разрядов в дробной части числа (после запятой); числа, запи­санные в такую разрядную сетку, имеют вид:

+00721,35500; +00000,000328; -10301,20260.

Эта форма наиболее естественна, но имеет небольшой диапазон пред­ставления чисел и поэтому чаще всего не приемлема при вычислениях.

В форме представления с плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая - порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - це­лым числом.

Например, приведенные ранее числа в нормальной форме запишутся так: +0,721355 · 10³; +0,328 · 10^-3; -0,103012026 • 10⁵.

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных компьютерах.

Следует заметить, что все числа с плавающей запятой хранятся в машине в так называемом нормализованном виде. Нормализованным называют такое число, в старшем разряде мантиссы которого стоит единица.

Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак + (плюс), код 1 — знак - (минус).

Кратко остановиться на выполнении операции над числами с плавающей запятой (точкой). При сложении (вычитании) чисел с одинаковыми порядками их мантиссы складываются (вычитаются), а результату присваивается порядок, общий для исходных чисел. Если порядки исходных чисел разные, то сначала эти порядки выравниваются (число с меньшим порядком приводится к числу с большим порядком), затем выполняется операция сложения (вычитания) порядков. Если при выполнении операции сложения мантисс возникает переполнение, то сумма мантисс сдвигается вправо на один разряд, а порядок суммы увеличивается на 1.

При умножении чисел с плавающей запятой их мантиссы перемножаются, а по­рядки складываются.

При делении числа с плавающей запятой мантисса делимого делится на мантиссу делителя, а для получения порядка частного из порядка делимого вычитается поря­док делителя. При этом если мантисса делимого больше мантиссы делителя, то мантисса частного окажется больше 1 (происходит переполнение) и ее следует сдви­нуть на один разряд вправо, одновременно увеличив на единицу порядок частного.

Для алгебраического представления чисел, то есть для представления чисел с учетом их знака, в машинах используется дополнительный код числа, обеспечивающий быстрое выполнение операций.

Дополнительный код числа N - [N]_доп

- если N ≥ 0, то [N]_доп = 0, а а... а,

- если N ≤ 0, то [N]_доп = 1,а*а*... а* + 0,0 0 ... 1.

Символ а* означает величину, обратную а (инверсию а).

Для того чтобы получить дополнительный код отрицательного числа, необхо­димо все его цифры инвертировать (в знаковом разряде поставить единицу, во всех значащих разрядах нули заменить единицами, а единицы нулями) и затем к младшему разряду прибавить единицу. В случае возникновения переноса из первого после запятой разряда в знаковый разряд, к числу следует прибавить единицу в младший разряд.

Например, N = 0,1011, [N]_доп = 0,1011;

N = - 0,1100, [N]_доп = 1,0100;

N = - 0,0000, [N]_доп = - 10,0000 = 0,0000 (1 исчезает).

Эмпирическое правило: для получения дополнительного кода отрицательного числа необходимо все символы этого числа инвертировать, кроме последней (младшей) единицы и тех нулей, которые за ней следуют.

Рассмотрим выполнение арифметических операций над числами, представленными в дополнительных кодах.

При выполнении арифметических операций в компьютере обычно применяются модифицированные коды. Модифицированный код отличается от простого использованием для изображения знака числа двух разрядов. Второй знаковый раз­ряд служит для автоматического обнаружения ситуации переполнения разрядной сет­ки: при отсутствии переполнения оба знаковых разряда должны иметь, одинаковые цифры (нули или единицы), а при переполнении разрядной сетки цифры в них будут разные. При переполнении результат сдвигается вправе на один разряд.

Сложение производится по обычным правилам сложения двоичных: чисел: едини­ца переноса, возникающая из старшего знакового разряда, просто отбрасывается.

Примеры сложения:

X = - 0,1101; У = 0,1001. Результат сложения: 11,0011 + 00,1001 = 11,1101 (или -1100);

X = 0,1101 ; У= 0,1001. Результат сложения: 00,0011 + 00,1001= 01,0110 (пере­полнение, после сдвига вправо получим 00,10110, или +10110);

Умножение чисел в дополнительных кодах производится но обычным правилам умножения двоичных чисел. Единственной особенностью является то, что если сомножитель является отрицательным (знаковые разряды равны 11), то перед на­чалом умножения следует приписать к нему слева столько единиц, сколько значащих разрядов у другого сомножителя справа от запятой. Результат (произведение) всегда получаем в дополнительном коде.

Примеры операции умножения:

Х = 00,111∙00,101= 00,100011 Х = 11111,001∙00,101= 11,011101

00,111 00,111

х00,101 х11111,011

_________ _____________

00111 00111

00000 00111

00111 00000

00000 00111

00000 00111

___________ 00111

00100011 00111

00111

________________________________________

0011011,010101→11,011101