Двухмерное смещение и однородные координаты.

До сих пор не обсуждалось смещение на плоскости точек и линий, это обусловлено тем, что вводить константу переноса внутрь структуры общей матрицы размера 2*2 не представленным возможным. Отметим, что эту трудность можно устроить за счет введения третьей компоненты в векторных точек.

В результате матрица преобразованная становиться размера 3*2 и имеет вид:

Это необходимо, поскольку число столбцов в матрице, описывающую точку должно равняться числу строк в матрице, преобразованной для выполнения операций перемноженной матрицы.

Отсюда видно, что константы m и n вызывают смещение в точке, относительно точки х с координатами (x,y). Поскольку матрица 3*2 не является квадратной, она не имеет обратной матрицы. Эту трудность можно обойти, заполнив матрицу преобразований до квадратной матрицы 3*3.

Например:

Заметим, что третья компонента векторов положения точек не изменяет, а использует эту матрицу преобразования, получим преобразованный вектор [x*y*1].

Добавление третьего элемента к вектору положения и третьего столбца смещения вектора положения, третий элемент можно рассматривать, как дополнительную координату вектора.

Вектор положения [xy 1],привоздействие на него матрицы 3*3 в общем случае может иметь вид:

[XYH]

Преобразование имеет место в трехмерном пространстве, и в нашем случае Н=1.

Если третий столбец в общем случае отличен от матрицы преобразования, то в результате преобразований точки [xy 1], мы получим [XYH], где Н отличное от 1.

Плоскость, в которой лежит преобразованный вектор, лежит в трехмерном пространстве.

Для того, чтобы получить обратное действие, то есть:

Трехмерное преобразование и проекции.

Введем снова однородные координаты. Точка в трехмерном пространстве X,Y,Z представляется в четырехмерном пространстве векторами X,Y,Z,H (x,y,z,1).

Преобразование из однородных координат описывается:

где Т – некоторая матрица преобразований, обобщенная матрица преобразований 4*4 однородных координат, имеющая вид:

Рассмотрим частные действия для данного четырехмерного преобразования.

Трехмерное изменение масштаба.

Основы преобразований.

Данное преобразование производит частное изменение масштаба. Общее изменение масштаба получается за счет использования четвертого диагонального элемента.

где

Сдвиг.

Не диагональные элементы левой верхней подматрицы 3*3 в общем матричном преобразование размером 4*4 осуществляется сдвиг в трех измерениях, то есть:

Трехмерное вращение.

В предыдущем случае было показано, что матрица 3*3 обеспечивает комбинацию операций измерения масштаба и сдвига. Однако, если определенная матрица 3*3 = 1, то имеет место чистое вращение около начала координат.

Рассмотрим несколько частных случаев вращения.

При вращение вокруг оси х размеры вдоль оси х не изменяются, таким образом матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и столбце, за исключением единицы на главной диагонали. И будет иметь вид:

Угол Ө - угол вращения вокруг оси х;

Вращение предполагается положительным по часовой стрелке, если смотреть с начала координат вдоль оси вращения.

Для вращения на угол φ около оси Y нули ставят во второй стороне и столбце матрицы преобразования за исключением единицы на главной диагонали.

Матрица имеет вид:

Аналогично матрица преобразований для вращения на угол ψ вокруг оси Z:

Так как вращение описывается умножением матрицы, то трехмерное вращение не коммутативное, то есть порядок умножения будет влиять на конечный результат.