Описание поверхности методом Кунса.

Луч задан на прямоугольной области, сетчатый каркас поверхности, сетки кривых разбивает поверхность на совокупность ячеек, каждый из которых ограничен параметрически, представленных парой U-кривых и V-кривых.

Параметрически заданная ячейка поверхности r(U,V) имеет вид границы от 0≤U≤1; 0≤0<1; Представленная внутренняя часть поверхности, ограниченная 4-мя исходными ограниченными кривыми r(U;0); r(1;0); r(U;1); r(0;V).

Форрест предложил трактовку алгоритма составляющий уравнение поверхности Кунса, который составляет вследующим для данной ячейки поверхности решается более простая задача, по двум граничным кривым r(0;V); r(1;V) построит линейчатую поверхность, который будет выглядеть следующим образом:

Для первой пары:

Тоже самое со второй парой:

Сумма дает нам третью поверхность.

у которой граничные кривые будут являться суммой граничной кривой и прямого отрезка.

Для восстановления исходных граничных кривых необходимо из уравнения суммы вычесть какую-нибудь линейчатую поверхность (формула), граница на котрый служат эти прямолинейные отрезки, тогда:

Отсюда запишем:

В матричном виде:

Описание поверхностей в форме Фергюсона.

Пусть кривая представляется в форме Фергюсона, уравнения:

Непрерывно перемещаются в трехмерном пространстве в направление V и изменяет свою форму в процессе этого изменения, в результате получаем поверхность r(U;V), представленная своим каркасом и т.д.

Для вывода уравнения поверхности нужно обобщить способ задания кривой, путем установления зависимых коэффициентов от второго параметра “V”.

Используем параметрическую запись кривой, запишем:

тогда уравнение поверхности будет:

Действия

Двухмерное вращение вокруг оси.

В общем случае вращение около произвольной точки может быть выполненной путем переноса центром вращения координат, поворот относительно начала координат, а потом переноса точки вращения в исходное положение.

Таким образом, вектор положения (x,y) около точки (mи n) на произвольный угол может быть выполнен с помощью преобразования.

Выполнив 2 операции умножения матрицы можно записать:

Изменение масштаба.

С помощью соответственной матричной операции над векторами положения, которая определяет вершину, можно управление формой и положением поверхностей, однако для получения желаемой ориентации может потребоваться более одного преобразования, поскольку матричной преобразование не коммутативно, что порядок преобразования является важным, при использовании операций.

Произвольная матрица вращения 2*2.

Общая матрица 2*2, которая осуществляет вращение фигуры, относительно начала координат, можно получить из рассмотренного вращения единичного квадрата вокруг начала координат.

Как следует из рисунка точка В с координатой (1;0) преобразуется в точкуB*

точка D, имеющих координат (0;1) преобразуется в D*

Учитывающиеся полученные преобразования общую матрицу вращения можно записать: