Означення числової функції. Область визначення та множина значень числової функції.

Ідея функціональної залежності закладається ще під час вивчення арифметичних дій додавання і віднімання. Справді, результат кожної з арифметичних дій залежить від її компонентів: 2 + 3 = 5, а 2 + 4 = 6; 10 – 5 = 5, 10 – 3 = 7.

Розв’язуючи задачу „Маса гуски 5кг. Яка маса 4 таких гусок?” (3 клас, №203, с.35), учні розглядають залежність маси від кількості. Якщо у задачу замість 4 поставити інше число, наприклад, 6, то діти роблять висновок, що чим більша кількість, тим більша загальна маса. Позначивши загальну масу літерою т, а кількість гусок літерою п, матимемо залежність, яка виражається формулою т = 5п.

Під час роботи над задачею „Швидкість ластівки 90км.год. Яку відстань пролетить ластівка за 2 години?” маємо справу із залежністю відстані від часу при сталій швидкості: чим більше часу буде рухатись пташка, тим більшу відстань подолає. Цю залежність можна описати формулою S = 90t, де S – відстань, t – час руху.

У ході розв’язування задачі на залежність між ціною, кількістю і вартістю діти роблять висновки: за сталої ціни вартість товару тим більша, чим більша кількість речей; на одну й ту саму кількість грошей можна купити менше товару, якщо його ціна більша.

Відповідність між елементами двох множин, при якій кожному елементу однієї множини відповідає не більше як один елемент другої множини, називається функцією.

Якщо елементи першої множини позначити х, а елементи другої множини – у, то означення функції звучатиме так: функцією називається залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х відповідає тільки одне значення у.

При цьому змінну х називають незалежною змінною або аргументом, а змінну у – залежною змінною або значенням функції.

Французький математик Ш. Терміт (1822 – 1901) говорив: „Я впевнений, що числа і функції не є мимовільним витвором нашого розуму; я гадаю, що вони існують незалежно від нас, бо необхідні, як об’єкти реального світу, і ми їх зустрічаємо або ж відкриваємо так само, як це роблять фізики, хіміки чи зоологи”.

Російський математик Хінчин А.Я.(1894 – 1959) відмітив: „,... Жодне з інших понять не відображає явищ реальної дійсності з такою безпосередністю і так конкретно, як поняття функціональної залежності, в якій виявляються і змінність, динамічність реального світу, і взаємозв’язки реальних величин. Це поняття, як ніяке інше, втілює в собі діалектичні риси сучасного математичного мислення; саме воно привчає осмислювати величини в їх мінливості, у їхньому взаємозв’язку, а не в штучному відокремленні одна від одної”.

„Поняття функції таке ж основне і первісне, як і поняття множини”. Ці слова належать Хаусдорфу Ф. (1868 – 1942), німецькому математику.

Функцію прийнято позначати літерами латинського алфавіту: f, g, h і т.д., тоді залежність у від х записується так: y = f(x).

Множина значень незалежної змінної х називається областю визначення функції, а множина відповідних значень залежної змінної у – множиною значень функції. Вони можуть бути довільними множинами.

Якщо область визначення і множина значень функції – числові множини, то функцію називають числовою функцією. Область визначення і множина значень функції позначаються відповідно D(f) і E(f).