Нерівності з однією змінною

Речення виду , , називаються нерівностями з однією змінною.

О з н а ч е н н я. Якщо – два вирази із змінною х та областю визначення Х, то нерівність виду або називається нерівністю з однією змінною.

Значення змінної х з області визначення Х, при якому нерівність перетворюється в істинну числову нерівність, називається розв’язком нерівності. Знайти множину розв’язків нерівності означає розв’язати цю нерівність.

В основі розв’язування нерівностей першого степеня, так як і для рівнянь, лежать поняття рівносильності і теореми про рівносильність нерівностей.

О з н а ч е н н я. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків рівні.

Наприклад, нерівності рівносильні, бо множини їх розв’язків рівні, це – проміжок .

Теореми про рівносильність нерівностей і наслідки з них подібні до відповідних теорем про рівносильність рівнянь. Схожими є й доведення цих теорем.

Т е о р е м а 1. Якщо нерівність задано на множині Х і h(x) – вираз, визначений на цій же множині, то нерівності і рівносильні на множині Х.

З цієї теореми випливають н а с л і д к и, які часто використовуються під час розв’язування нерівностей:

1. Якщо до обох частин нерівності додати одне й те саме дійсне число d, то отримаємо нерівність , рівносильну даній.

2. Якщо який-небудь доданок (числовий вираз або вираз із змінною) перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак доданка на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Т е о р е м а 2. Якщо нерівність задано на множині Х і h(x) – вираз, визначений на цій же множині, то нерівності і рівносильні на множині Х.

З цієї теореми випливає такий наслідок: якщо обидві частини нерівності помножити на одне й те саме додатне дійсне число d, то отримаємо нерівність , рівносильну даній.

Т е о р е м а 3. Якщо нерівність задано на множині Х і h(x) – вираз, визначений на цій же множині, то нерівності і рівносильні на множині Х.

З цієї теореми випливає такий наслідок: якщо обидві частини нерівності помножити на одне й те саме від’ємне дійсне число d і змінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність , рівносильну даній.

Розв’яжемо нерівність і визначимо, які теоретичні факти при цьому використовуються.

Хід розв’язування	Використані теоретичні факти
Перенесемо доданок 2х у ліву частину а число –5 в праву:	Наслідок 2 з теореми 1, означення рівносильності нерівностей
Зведемо подібні доданки в лівій і в правій частинах нерівності:	Тотожне перетворення – зведення подібних доданків
Поділимо обидві частини нерівності на 3:	Наслідок з теореми 2

Нерівності і рівносильні, тому мають однакову множину розв’язків – це числовий проміжок .

Числові функції. Визначення числової функції. Способи задання функції. Пряма і обернена пропорційності, їх властивості і графіки.

Одна із суттєвих ознак багатьох предметів оточуючої дійсності – змінність. Змінюється погода, вік людини, умови її життя, тваринний і рослинний світ. Щоб навчити дітей науково обґрунтовувати ці процеси, необхідно знати їх певні властивості, наприклад, такі, як маса, час, площа, швидкість. Усі названі властивості – величини. Частина цих властивостей вивчається вже в початкових класах, деякі – у курсах фізики, хімії і біології. Ми також вже вивчали величини та їх основні властивості у курсі теоретичних основ початкового курсу математики. Проте, ці величини рідко зустрічаються окремо. Між величинами існують певні зв’язки, залежності. Так маса залежить від кількості, швидкість від часу, вартість від ціни і т.д. Деякі залежності мають свої особливості і їх називають функціональними. Для учителя початкових класів дуже важливо зрозуміти і використовувати такі залежності, щоб сформувати відповідні уміння і навички у своїх вихованців.