Теоретичні основи розв’язування рівнянь

На прикладі розв’язування рівняння 2(х – 7) + 3(4 + х) = 2х – 1 розглянемо, які теоретичні основи при цьому використовуються.

	Хід розв’язування рівняння	Використані теоретичні основи
1.	Розкрити дужки: 2х – 14 + 12 + 3х = 2х – 1	Тотожне перетворення (розкриття дужок) в лівій частині рівняння; одержали рівняння, рівносильне даному.
2.	Перенести невідомі вліво, відомі – вправо: 2х + 3х – 2х = – 1 +14 – 12	Другий наслідок з теореми 1 про рівносильність рівнянь; одержали рівняння, рівносильне попередньому, а, значить, даному.
3.	Звести подібні доданки в обох частинах рівняння: 3х = 1	Тотожне перетворення – зведення подібних доданків; одержали рівняння, рівносильне попередньому, а, значить, даному.
4.	Знайти невідомий множник: х = 1 : 3, х =	Наслідок з теореми 2 про рівносильтність рівнянь (поділили обидві частини рівняння на число 3); одержали рівняння, рівносильне попередньому, а, значить, рівносильне даному.

Розв’язування лінійних і квадратних рівнянь з однією змінною.

Рівняння виду ax + b = 0, де a і b - довільні дійсні числа, називається лінійним рівнянням з однією змінною. Якщо а ≠ 0 і b ≠0, то рівняння має один корінь: ; якщо а ≠ 0 і b =0, то рівняння набуває вигляду ax = 0 і рівняння також має лише один корінь: х = 0; якщо а = 0 і b ≠0, то рівняння 0 · х + b = 0 перетворюється до виду 0 · х = – b, яке не має смислу, тобто, рівняння не має коренів (множина коренів порожня); якщо а = 0 і b =0, то рівняння виду 0 · х =0 має безліч коренів (множина коренів нескінченна).

Рівняння ax + b = 0 при умові, що а ≠ 0, називається рівнянням першого степеня.

Рівняння першого степеня з однією змінною завжди має один розв’язок; лінійне рівняння може не мати розв’язків або мати їх нескінченну множину.

Розв’язувати рівняння першого степеня з однією змінною можна в такій послідовності:

1) розкрити дужки, якщо вони є; 2) згрупувати члени, що містять змінну, в одній частині рівняння, а вільні члени – в іншій; 3) звести подібні доданки; 4) розв’язати рівняння вигляду а · х = b, яке дістали після зведення подібних доданків.

Рівняння вигляду , де – змінна, а коефіцієнти – дійсні числа, називається квадратним рівнянням. Коефіцієнт с називається вільним членом, а – перший коефіцієнт, b - другий коефіцієнт.

При а = 1 рівняння називається зведеним квадратним рівнянням.

Якщо хоч один з коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається неповним. Неповні квадратні рваняння бувають трьох видів: , , .

Рівняння при має один корінь х = 0. Рівняння при має корені i . При воно не має дійсних коренів. Рівняння при має два корені: і .

Повне квадратне рівняння розв’язується за формулою , де - дискримінант квадратного рівняння. Якщо , рівняння має два різні дійсні корені. Якщо , рівняння має один корінь . Якщо , рівняння не має дійсних коренів.