Поняття про рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь.

Щоб розв’язати рівняння, його, як правило, перетворюють, замінюючи простішим. Цей процес продовжується до тих пір, поки не одержиться рівняння, розв’язки якого можна знайти відомим способом. Але при цьому треба пам’ятати, що в процесі перетворень має вийти рівняння, множина розв’язків якого співпадає з множиною коренів вихідного рівняння. Такі рівняння називаються рівносильними.

Нехай задано два рівняння з однією змінною: f(x) = g(x) і f₁(x)=g₁(x).

Два рівняння, множини розв'язків яких на певній мно­жині М рівні, називаються рівносильними (еквівалентними) на цій множині.

Наприклад, рівняння (х + 1)²= 9 і (х – 2)(х + 4) = 0 рівносильні на множині дійсних чисел, бо їх коренями є числа 2 і – 4.

Із означення рівносильності рівнянь випливає, що два рівняння, множина розв'язків кожного з яких на спільній області їх визначення порожня, є рівносильними.

Відношення рівносильності на множині рівнянь є відношенням екві­валентності, воно має три основні властивості еквівалентних відношень: 1) рефлексивність; 2) симетричність; 3) транзитивність.

Вияснимо, які перетворення дають змогу переходити від одного рівняння до іншого, рівносильного даному. Ці перетворення відображаються в теоремах, які отримали назву теорем про рівносильність рівнянь.

Теорема 1. Якщо до обох частин рівняння додати вираз, визначе­ний при будь-яких значеннях змінної із області визначення рівняння, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Тобто f(x) = g(x) f(x)+p(x) = g(x) + p(x)

Доведення складається з двох частин.

1) Доведемо, що рівняння f(x)+p(x) = g(x) + p(x) є наслідком рівняння f(x) = g(x), тобто що всі розв'язки f(x) = g(x) є також розв'язками f(x)+p(x) = g(x) + p(x) .

Нехай х = а є будь-який із коренів f(x) = g(x), тоді f(a) = g(a) – число­ва рівність, що є істинним висловленням.

Разом з тим g(а) = т — цілком певне число і рівняння f(x)+p(x) = g(x) + p(x) при х = а матиме вигляд f(a)+m = g(a) + m – також істинне висловлення на основі відповідної властивості число­вих рівностей, отже, будь-який розв'язок рівняння f(x) = g(x) є також розв'яз­ком рівняння f(x)+p(x) = g(x) + p(x).

2) Доведемо, що рівняння f(x) = g(x) є наслідком рівняння f(x)+p(x) = g(x) + p(x).

Нехай х = b – будь-який із розв'язків рівняння f(x)+p(x) = g(x) + p(x), тоді f(b)+p(b) = g(b) + p(b) – числова рівність, що є істинним висловленням, причому g(b)– цілком певне число g(b) = п..

Віднявши це число від обох частин останньої рівності, дістанемо істинне висловлення, яке показує, що b є також розв'язком рівняння f(x) = g(x) .

Отже, рівняння f(x) = g(x) і f(x)+p(x) = g(x) + p(x) рівносильні.

Наприклад, рівняння х + 2 = 12 і х + 2 + 5х = 12 + 5х рівносильні, бо кожне з цих рівнянь має розв'язок х =10.

Під час розв’язування рівнянь частіше використовується не сама теорема, а наслідки з неї:

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне і те саме число, то одержиться рівняння, рівносильне даному.

2. Якщо який-небудь доданок (числовий вираз чи вираз із змінною) перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши знак доданка на протилежний, то одержиться рівняння, рівносильне даному.

Теорема 2. Якщо обидві частини рівняння помножити на вираз, що має смисл при всіх значеннях змінної із області визначення рівняння і при жодному з цих значень не дорівнює нулю, то дістанемо рівняння, рів­носильне даному.

Доведення цієї теореми аналогічне попередньому.

У ході розв’язування рівнянь використовується і наслідок з теореми:

Якщо обидві частини рівняння помножити (або поділити) на одне й те саме дійсне число, відмінне від нуля, то одержиться рівняння, рівносильне даному.