Рівняння з однією змінною Поняття про рівняння з однією змінною.

Висловлення, які містять змінну, і при одних значеннях змінних можуть бути істинними, при інших - хибними, як уже відомо, називають висловлювальними форма­ми або предикатами.

Візьмемо два вирази із змінною: 4х і 5х + 2. Поставимо між ними знак “=”. Одержуємо речення 4х = 5х + 2. Воно містить змінну і при підстановці значень змінної перетворюється у висловлення. Наприклад, при х = 1 речення 4х = 5х + 2 перетворюється в хибне висловлення 4 · 1 = 5 · 1 + 2, а при х = - 2 – в істинне висловлення 4 · ( -2) = 5 · ( -2) + 2. Отже, речення 4х = 5х + 2 є висловлювальною формою (предикатом). Його називають рівністю із змінною або рівнянням з однією змінною.

Нехай f(x) і g(x) – два вирази із змінною х і областю визначення Х. Тоді висловлювальна форма виду f(x) = g(x) називається рівнянням з однією змінною.

Вирази, що стоять у рівнянні зліва і справа від знака рівності, називаються відповідно лівою і правою частинами рівняння.

За характером операцій, що виконуються над змінними, розрізняють алгебраїчні, дробові, ірраціональні, тригонометричні, логарифмічні та інші рівняння. Рівняння називається алгебраїчним, якщо обидві його частини – цілі раціональні вирази. Алгебраїчні рівняння бувають першого, другого, третього і т.д. степенів.

В початкових класах вивчаються найпростіші рівняння на знаходження невідомих компонентів арифметичних дій. Поняття рівняння вводиться неявно, тобто через контекст. В ході розв’язування таких рівнянь учні повинні усвідомити, що рівняння – це рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою, а розв’язати рівняння – означає знайти значення цього невідомого числа, при якому рівність буде правильною.

Множина коренів рівняння.

Значення змінної х з множини Х, при якому рівняння перетворюється в істинну числову рівність, називається його розв’язком (або коренем). Знайти множину розв’язків даного рівняння – означає розв’язати це рівняння.

Будь-яке рівняння з однією змінною являє собою одномісний преди­кат, заданий на певній множині, областю істинності якого є множина розв'язків даного рівняння. Так, рівняння х – 5 = 8 – предикат Р (х). При х = 13 він пере­творюється в істинне висловлення, при всіх інших х – в хибне. Отже, множина істинності даного предиката є одноелементна множина, Р = {13} — множина розв'язків даного рівняння. Рівняння х² + 1 = 0 в області дійсних чисел не має розв'язку. Отже, множиною істинності предиката Р (х) є порожня множина.

Таким чином, рівняння може зовсім не мати розв’язків, мати єдиний розв’язок, кілька розв’язків і нескінченну множину розв’язків. Перед тим як розв'язувати те чи інше рівняння, доцільно спочатку дослідити, чи має воно розв'язки, а якщо має, то якій множині вони належать. Для цього слід знайти множину допустимих значень змінної (або область значень змінної, область визначення рівняння), а потім серед цих значень змінної шукати множину розв'язків, тобто значення, які перетворюють даний предикат в істинне висловлення.