Поняття про числову рівність. Значення істинності числових рівностей.

Нехай a і b – два числові вирази. Тоді речення a = b називається числовою рівністю.

Два числові вирази, з’єднані знаком „=”(дорівнює), називаються числовою рівністю.

Наприклад: 2 = 5 – 3, 5 = 7,

12 = 2 · 5 + 2, 2 · 2 = 5,

5 = 5, 3 – 5 = 3 + 5.

В обох стовпчиках між двома числовими виразами стоїть знак рівності. Порівняйте числові рівності. Яка відмінність між рівностями першого стовпчика і другого? Так, у першому стовпчику – істинні рівності, а в другому – хибні.

Таким чином, з точки зору логіки, числова рівність – це висловлення, яке буває істинним або ж хибним.

Числова рівність істинна, якщо значення числових виразів, що стоять в лівій і в правій частинах рівності, співпадають.

Основні властивості числових рівностей.

Розглянемо деякі властивості істинних числових рівностей.

1. Симетричність: a = b b = a.

2. Транзитивність: (a = b) ^ (b = с) а = с.

3. a = b a – b = 0.

4. Монотонність додавання: a = b a + с = b + с.

Якщо до обох частин числової рівності a = b додати один і той самий числовий вираз с, який має смисл, то одержиться істинна числова рівність a + с = b + с.

5. Адитивність: (a = b) ^ (с = d) a + c = b + d.

Числові рівності однакового смислу можна почленно додавати.

6. Монотонність множення: a = b a · с = b · с .

Якщо обидві частини істинної числової рівності a = b помножити на один і той самий числовий вираз с, який має смисл, то одержиться істинна числова рівність a · с = b · с .

7. (a = b) ^ (с = d) a – c = b – d.

Числові рівності можна почленно віднімати.

8. (a = b) ^ (с = d) a · c = b · d.

Числові рівності можна почленно перемножати.

9. a = b a^п = b^п.

Обидві частини рівності можна підносити до степеня з натуральним показником.

10. (a = b) ( ), якщо a ≠ 0, b ≠ 0.

На практиці часто доводиться користуватися наслідками з властивостей.

Наслідок з властивості 4. Якщо до обох частин істинної рівності додати те саме число, то дістанемо істинну рівність.

Ця властивість дає змогу переносити числа із однієї частини рівності в другу з протилежним знаком.

Наслідок із властивості 6. Якщо обидві частини істинної рівності помножити (поділити) на те саме додатне число, то дістанемо істинну рівність.

Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей.

Два числові вирази, з’єднані знаками > („більше”) або < („менше”), називаються числовою нерівністю.

З а в д а н н я

1. Встановити, які із числових рівностей і нерівностей істинні:

1) 10² + 11² + 12² = 13² + 14²; 2) 3³ + 4³ + 5³ = 6³;

3) ;

4) 1,0905 : 0,025 – 6,84 · 3,07 + 2,38 : 100 < 4,8 : (0,04 · 0,006).

2. Сформулювати умови, при яких нерівність a ≥ b: 1) істинна; 2) хибна.

3. Дано нерівність 5 > 3. Помножити обидві її частини на 7; 0,1; 2,6; . Чи можна на основі одержаних результатів стверджувати, що для будь-якого додатного числа а нерівність 5а > 3а істинна?

4. В одному кошику було 68 яблук, а в другому – на 9 яблук менше. В кожний кошик поклали ще по 10 яблук. В якому кошику яблук більше і на скільки?

5. Відомо, що х > у – істинна нерівність. Чи будуть істинними нерівності:

1) 2х > 2у; 2) – < – ; 3) 2х – 7 < 2у – 7; 4) – 2х – 7 < – 2у – 7?

6. Відомо, що a < b – істинна нерівність. Замість * поставити знак „>” або „<” так, щоб одержати істинну нерівність:

1) –3,7 a * –3,7b; 2) 0,12a * 0,12b; 3) * ; 4) * ; 5) – 2 (a + 5) * – 2 (b +5); 6) * .

7. Не виконуючи обчислень, поставити замість крапок знаки „>” , „<” або „=” так, щоб утворилися істинні висловлення:

1) 5642 · ... 5642 · ; 2) 8,4 · (– 1) ... 8,4 : (– 1); 3) 46,24 : 0,5 ... 46,24 · 0,5;

4) (248 – 96) · 5 ... 248 · 6 –96 · 5; 5) 600 : 6 – 6 : 6 ... 592 : 6.

8. Як у початкових класах використовується поняття числової рівності і нерівності, якщо учням пропонуються завдання:

1) використовуючи вирази 9 · 3, 30 – 6, 3 · 9, 30 – 3, скласти дві правильні рівності і дві правильні нерівності;

2) розставити дужки так, щоб рівності були правильними:

4 + 2 · 3 = 18; 31 – 10 – 3 = 24; 54 – 12 + 8 = 34;

3) поставити знаки дій так, щоб одержати правильні рівності:

3*6*2 = 9; 9*3*6 = 18?