Область визначення виразу

Значення змінних, при яких вираз із змінною має зміст, називаються допустимими значеннями змінної. Множина усіх допустимих значень змінних називається областю визначення виразу із змінними. Тобто, множина значень змінної, при яких буквений вираз має зміст, називається областю визначення цього виразу.

Цілий вираз має смисл при всіх значеннях змінної, бо дії додавання, віднімання, множення і піднесення до натурального показника завжди виконуються. Отже, вирази 5х – 7, 5х² – 7х +1, мають зміст при будь-яких значеннях змінної х, тобто, область визначення цих виразів – множина усіх дійсних чисел R = .

Щоб знайти область визначення дробового виразу із змінною, треба дільник (знаменник дробу) прирівняти до нуля, знайти відповідні значення змінної і виключити їх з множини дійсних чисел.

5х – 7 = 0, якщо х = , тому область визначення виразу – множина усіх дійсних чисел, крім х = . Це можна записати і у вигляді об’єднання числових відрізків: х .

Областю визначення виразу є множина усіх дійсних чисел, крім х = – 5, що можна записати по-іншому: , а область визначення виразу становлять усі дійсні числа, крім – 4 та 4 ( ).

Якщо ж вираз ірраціональний, то слід пам’ятати, що корінь парного степеня не добувається з від’ємних чисел. Наприклад, вираз має зміст при умові, що підкореневий вираз х – 4 задовольняє нерівність х – 4 ≥ 0. Розв’язавши нерівність, маємо х ≥ 0, тобто, областю визначення цього виразу є множина дійсних чисел .

Тотожності

Розглянемо два вирази із змінною: 5 (х + 2) і 5х + 10.

Що є областю визначення кожного виразу? Чому?

Знайдемо декілька значень цих виразів при одних і тих самих значеннях змінної:

	5 (х + 2)	5х + 10
0	10	10
1	15	15
– 2	0	0

Отже, відповідні значення виразів рівні. Говорять, що вирази 5 (х + 2) і 5х + 10 тотожно рівні.

Два вирази називаються тотожно рівними, якщо при будь-яких значеннях змінних з області визначення виразів їх відповідні значення рівні.

Рівність, яка справджується при будь-яких значеннях змінної (змінних), називається тотожністю.

Тотожностями є:

1. правильні числові рівності;

2. закони додавання і множення:

a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c), a · b = b · a, (a · b) · c = a · ( b · c), a · 1 = a, a · 0 = 0, (a + b) · c = a · c + b · c, a + 0 = a, a : 1 = a, a : a = 1;

3. правила віднімання і ділення:

(a + b) – c = a + b – c, a – (b + c) = a – b – c, a : (b · c) = a : b : c і т.д.;

4. формули скороченого множення: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a – b)² = a² – 2ab + b², (a – b)(a + b) = a² – b², a³ – b³ =(a – b)( a² +ab + b²), (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.