Способи задання функції.

Щоб задати функцію, треба задати множину (область її визначення) і спосіб (правило), за яким для кожного значення х з множини D(f) буде знаходитись відповідне число у – значення функції.

Функцію можна задати такими способами:

1. словесно (наприклад: f(x) – функція, кожне значення якої втричі менше від аргумента х; „Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони”);

2. за допомогою переліку пар (х; у): (Х= ;

3. Таблично;

4. графічно; графіком функції y = f(x) називається множина таких точок координатної площини, які мають координати (х; у) для всіх х D(f). Найчастіше графік функції – якась лінія. Однак, він може складатися з окремих точок, відрізків, дуг;

5. Аналітично (за допомогою формули).

У кожному із цих випадків можна вказати D(f) і E(f).

Якщо функцію задано аналітично і область визначення не вказано, то вважається, що D(f) складається з усіх значень змінної х, при яких формула y = f(x) має смисл.

Пряма пропорційність, її графік та основні властивості.

Розв’яжемо деякі із задач початкової школи, в яких розглядаються залежності між величинами.

Задача 1. Ціна одного зошита 60 копійок. Скільки коштують 4 таких зошити? 5 зошитів? 8 зошитів? х зошитів?

Якщо вартість покупки позначити у, то розв’язок останньої задачі записується виразом у = 60 · х. Це – формула, яка описує залежність у від х. Чи є вона функцією? Чому? Дійсно, оскільки кожному значенню х відповідає лише одне значення у, то формула у = 60 · х задає функцію.

Задача 2. Швидкість пішохода 4км.год. Яку відстань пройде пішохід за t годин? Відстань позначимо буквою S.

Знаючи правило, діти знаходять, що S = 4 · t. Цей вираз є формулою, яка задає функцію, бо кожному значенню t відповідає тільки одне значення S.

До того ж, в обох випадках більшому значенню аргументу (х, t) відповідає більше значення функції (у, S). Такі функції називаються прямою пропорційністю.

Прямою пропорційністю називається функція, яку можна задати за допомогою формули виду у = kx, де х – незалежна змінна, а k – дійсне число, відмінне від нуля.

Число k називається коефіцієнтом пропорційності. Змінну у називають прямо пропорційною змінній х з коефіцієнтом пропорційності k.

Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат.

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій і .

Користуючись графіком, перелічимо основні властивості прямої пропорційності:

1) область визначення цієї функції – множина усіх дійсних чисел;

2) множина значень – усі дійсні числа;

3) при k >0 функція зростає на всій області визначення, а при k < 0 – спадає;

4) відношення двох значень змінної х дорівнює відношенню відповідних значень у;

5) графік – пряма, яка при k >0 знаходиться у І – ІІІ чвертях, а при k < 0 – у ІІ – ІV чвертях.

Для додатних значень змінних х і у четверту властивість можна сформулювати так:

Із збільшенням (зменшенням) значень змінної х у декілька разів значення змінної у збільшується (зменшується) у стільки ж разів.

Обернена пропорційність, її властивості та графік.

На практиці часто зустрічаються задачі, в яких залежність між величинами не є прямою пропорційністю.

Розв’яжемо задачу 1. У хлопчика є 6 гривень. Скільки зошитів він зможе купити за ці гроші, якщо один зошит коштує 60 копійок? А якщо зошит коштує 50 копійок? А скільки зошитів можна купити, якщо ціна одного зошита 1 гривня?

Який висновок можна зробити? Дійсно, якщо вартість товару незмінна, то чим більша ціна одного зошита, тим менше таких зошитів можна купити.

Розглянемо іншу задачу: Відстань між містом і селом 120км. За скільки годин проїде цю відстань автобус, швидкість якого 60 км / год? За скільки годин проїде цю відстань мотоцикліст зі швидкістю 40 км / год? За скільки годин цю відстань подолає велосипедист, швидкість якого 12 км / год?

Із розв’язаної задачі можна зробити висновок, що одну й ту саму відстань швидше проїде той, чия швидкість більша, тобто, чим більша швидкість, тим менше часу потрібно, щоб проїхати одну й ту ж відстань.

Такі залежності є функціональними, бо кожному значенню однієї змінної відповідає лише одне значення іншої змінної. А функція при цьому називається оберненою пропорційністю.

Оберненою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою виду , де х – незалежна змінна, а k – будь-яке дійсне число, відмінне від нуля.

Говорять, що у обернено пропорційне змінній х з коефіцієнтом пропорційності k.

Побудувавши графіки функцій і , визначимо основні властивості оберненої пропорційності:

1) область визначення функції – множина усіх дійсних чисел, крім нуля;

2) множина значень – множина усіх дійсних чисел, крім нуля;

3) графіком є гіпербола, яка не перетинає жодної із координатних осей;

4) при k >0 графік знаходиться у І – ІІІ чвертях, а при k < 0 – у ІІ – ІV чвертях;

5) при k >0 функція зростає на всій області визначення, а при k < 0 – спадає;

6) функція непарна, то її графік симетричний відносно початку координат;

7) для будь-яких додатних х і у із збільшенням (зменшенням) х у кілька разів у зменшується (збільшується) у стільки ж разів.