Вирази. Числовий вираз, його значення.

Числові вирази, які не мають змісту.

Вирази із змінною (змінними).

Область визначення виразу.

Алфавіт математичної мови

Математична мова будується за певними правилами з математичних знаків, що становлять її алфавіт.

Алфавіт математичної мови становлять:

1. знаки об’єктів – цифри (1, 2, 3, ...,9, 0; І, V, Х, L, С, D, М), букви латинського (A, a, B, b, C, c, …) та грецького ( α, β, γ, δ ...) алфавіту, кута ( ), трикутника (Δ), порожньої множини ( );

2. знаки операцій – знаки математичних дій (+, –, ·, : ), знаки операцій над множинами ( , , \), кореня п-го степеня ( , ), піднесення до степеня (а^п);

3. знаки відношень (=, >, <, ≥, ≤, ≠, ||, , , , , ~);

4. допоміжні знаки – дужки, кома, крапка з комою.

Отже, алфавіт математичної мови – це набір знаків для позначення об’єктів, змінних, знаків арифметичних дій і знаків відношень.

Числовий вираз та його значення

Із знаків математичного алфавіту складаються за певними правилами слова і речення.

Математичне слово – це скінченна послідовність знаків алфавіту, яка має смисл. Наприклад, 5 + 4, 7 + 3 · 2 – слова, а 7 – 5 + не є словом, бо не має смислу. Математичні слова ще мають назву „вираз”. Математичні вирази, з’єднані знаком відношень, утворюють речення – висловлення (речення, про яке можна сказати, істинне воно чи хибне) або висловлювальну форму (предикат) – (речення із змінними, яке перетворюється у висловлення при підстановці значень змінних).

Запис, який складено за допомогою цифр (чисел), знаків дій і дужок, називається числовим виразом. Вважається, що число також є числовим виразом.

Число, одержане в результаті послідовного виконання дій, вказаних у виразі, називається значенням числового виразу. Так, значення виразу 2 + 7 дорівнює 9.

Існують вирази, які не мають змісту (смислу). Наприклад, на множині натуральних чисел не мають смислу вирази 7 – 9, 7 : 9, а на множині дійсних чисел не мають змісту вирази 8 : (4 – 4), бо ділити на нуль не можна, , бо не існує такого дійсного числа, квадрат якого дорівнює – 9.

З числовими виразами учні ознайомлюються вже у 1 класі. Поступово ці знання розширюються, систематизуються, узагальнюються.

Поняття про числовий вираз у молодших школярів формуються у тісному зв’язку з вивченням арифметичних дій. Робота над виразами проводиться у такій послідовності:

1. формування уявлень про найпростіші вирази (сума та різниця двох чисел) та введення виразів на дві дії (7·2 + 3, 12 – 3 – 4, 9 + 4 – 2);

2. вирази на дві дії першого ступеня із застосуванням дужок (10 – (4 + 3), 17 – (10 – 3), 5 + (4 – 1));

3. вирази на дві дії першого і другого ступенів, знаходження числових значень яких виконується в порядку слідування дій (12 : 3 + 8, 2 · 4 – 5, 6 : 2 · 8);

4. вирази на дві дії першого і другого ступенів, знаходження числових значень яких спирається на правила порядку виконання арифметичних дій (20 – 16 : 2, 24 : (3 · 2), вирази на три і більше дій (9 · 8 + 9 · 3, 4038 · 97 – 2460 : 60).

Вирази із змінною (змінними)

Запис, який складено з чисел, букв, знаків арифметичних дій і дужок, називається буквеним виразом або виразом із змінною (змінними):

3х – 7, 2(х – у), 5х – 7у + 9.

Б уква називається змінною, бо замість неї можна поставити будь-яке число. Тоді утворюються числові вирази і можна шукати їх значення. Для позначення змінної можна використовувати будь-яку літеру латинського алфавіту. У початкових класах для позначення змінної, крім букв, використовують також знак - порожню клітинку. Таким чином, змінна – це знак (символ), який можна замінити числом.

Щоб знайти значення виразу із змінною, необхідно у цей вираз підставити замість змінної її числове (числові) значення.

Якщо буквений вираз не містить ділення на змінну чи вираз із змінною, добування квадратного кореня із змінної (або піднесення до дробового показника), то він називається цілим виразом. Наприклад, 7а²с³; –5х; у; 2а² – 3; –0,2ху +5х² – у³; 2ах (х + у), (х + у)².

Якщо ж вираз складено з чисел, букв, знаків арифметичних дій додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня з натуральним показником і ділення на вираз із змінною, то він називається дробовим виразом. Наприклад, ; ; ; . Цілі і дробові вирази називаються раціональними виразами.

Якщо у виразі використовується добування кореня із змінних чи виразу із змінними, то такий вираз називається ірраціональним. Наприклад, ; . Оскільки знак кореня можна завжди замінити степенем з дробовим показником, то вирази , також є ірраціональними.