4.3. Закрашивание поверхностей

В этом разделе мы рассмотрим методы, которые позволяют получить более-менее реалистичные изображения для объектов, моделируемых многогран­никами и полигональными сетками. Эти методы достаточно подробно описа­ны в [9, 28, 32], а также в [58, 60].

Модели отражения света

Рассмотрим, как можно определить цвет пикселов изображения поверхности согласно интенсивности отраженного света при учете взаимного расположе­ния поверхности, источника света и наблюдателя.

Зеркальное отражение света. Угол между нормалью и падающим лучом (0) равен углу между нормалью и отраженным лучом. Падающий луч, отражен­ный, и нормаль располагаются в одной плоскости (рис. 4.29).

Рис. 4.29. Зеркальное отражение света

Поверхность считается идеально зеркальной, если на ней отсутствуют какие-либо неровности, шероховатости. Собственный цвет у такой поверхности не наблюдается. Световая энергия падающего луча отражается только по линии отраженного луча. Какое-либо рассеяние в стороны от этой линии отсутству­ет. В природе, вероятно, нет идеально гладких поверхностей, поэтому пола­гают, что если глубина шероховатостей существенно меньше длины волны излучения, то рассеивания не наблюдается. Для видимого спектра можно принять, что глубина шероховатостей поверхности зеркала должна быть су­щественно меньше 0.5 мкм [30].

Если поверхность зеркала отполирована неидеально, то наблюдается зависи­мость интенсивности отраженного света от длины волны — чем больше дли­на волны, тем лучше отражение. Например, красные лучи отражаются силь­нее, чем синие.

При наличии шероховатостей имеется зависимость интенсивности отражен­ного света от угла падения. Отражение света максимально для углов 0, близ­ких к 90 градусам [13, 30].

Падающий луч, попадая на слегка шероховатую поверхность реального зер­кала, порождает не один отраженный луч, а несколько лучей, рассеиваемых по различным направлениям. Зона рассеивания зависит от качества полиров­ки и может быть описана некоторым законом распределения. Как правило, форма зоны рассеивания симметрична относительно линии идеального зер­кально отраженного луча. К числу простейших, но достаточно часто исполь­зуемых, относится эмпирическая модель распределения Фонга, согласно ко­торой интенсивность зеркально отраженного излучения пропорциональна (cos α)^p, где а— угол отклонения от линии идеально отраженного луча. Пока­затель р находится в диапазоне от 1 до 200 и зависит от качества полировки [28]. Запишем это таким образом:

где /— интенсивность излучения источника, K_s— коэффициент пропорциональности.

Диффузное отражение. Этот вид отражения присущ матовым поверхно­стям. Матовой можно считать такую поверхность, размер шероховатостей которой уже настолько велик, что падающий луч рассеивается равномерно во все стороны. Такой тип отражения характерен, например, для гипса, песка, бумаги. Диффузное отражение описывается законом Ламберта, согласно ко­торому интенсивность отраженного света пропорциональна косинусу угла

между направлением на точечный источник света и нормалью к поверхности (рис. 4.30).

где I— интенсивность источника света, K_d— коэффициент, который учиты­вает свойства материала поверхности. Значение К_d находится в диапазоне от 0 до 1 [28]. Интенсивность отраженного света не зависит от расположения наблюдателя.

Рис. 4.30. Матовая поверхность

Матовая поверхность имеет свой цвет. Наблюдаемый цвет матовой поверх­ности определяется комбинацией собственного цвета поверхности и цвета излучения источника света.

При создании реалистичных изображений следует учитывать то, что в при­роде, вероятно, не существует идеально зеркальных или полностью матовых поверхностей. При изображении объектов средствами компьютерной графи­ки обычно моделируют сочетание зеркальности и диффузного рассеивания в пропорции, характерной для конкретного материала. В этом случае модель отражения записывают в виде суммы диффузной и зеркальной компонент:

где константы K_d, К_s определяют отражательные свойства материала. Согласно этой формуле интенсивность отраженного света равна нулю для некоторых углов θ и а. Однако в реальных сценах обычно нет полностью за­темненных объектов, следует учитывать фоновую подсветку, освещение рас­сеянным светом, отраженным от других объектов. В таком случае интенсив­ность может быть эмпирически выражена следующей формулой:

где /_а — интенсивность рассеянного света, К_а — константа.

Можно еще усовершенствовать модель отражения, если учесть то, что энер­гия от точечного источника света уменьшается пропорционально квадрату

расстояния. Использование такого правила вызывает сложности, поэтому на практике часто реализуют модель, выражаемую эмпирической формулой [28|

где R — расстояние от центра проекции до поверхности, к — константа.

Как определить цвет закрашивания точек объектов в соответствии с данной моделью? Наиболее просто выполняется расчет в градациях серого цвета (например, для белого источника света и серых объектов). В данном случав интенсивность отраженного света соответствует яркости. Сложнее обстоит дело с цветными источниками света, освещающими цветные поверхности. Например, для модели RGB составляются три формулы расчета интенсивно­сти отраженного света для различных цветовых компонент. Коэффициента К_а и K_d различны для разных компонент — они выражают собственный цвет поверхности. Поскольку цвет отраженного зеркального луча равен цвету источника, то коэффициент К, будет одинаковым для всех компонент цветовой модели. Цвет источника света выражается значениями интенсивности I для соответствующих цветовых компонент.

Алгебра векторов

Здесь уместно сделать небольшое отступление от темы. Рассмотрим элементы алгебры векторов. Вектором называется отрезок прямой, соеди­няющий некоторые точки пространства А и В. Направление вектора — от начальной точки А к конечной точке В. Радиус-вектор R — это вектор, с начальной точкой в центре координат. Коорди­натами радиус-вектора являются координаты ко­нечной точки (рис. 4.31). Длина радиус-векторачасто называетсямодулем, обозначается как |R| и Рис. 4.31. Радиус-вектор вычисляется следующим образом:

Единичный вектор — это вектор, длина которого равна единице. Перечислим основные операции над векторами.

1. Умножение вектора на число X = Va. Результат — вектор X, длина кото­рого в а раз больше вектора V. Если число а положительно, то направле­ние вектора X совпадает с вектором V. При о<0 вектор X имеет противоположное направление вектору V. Если V— это радиус-вектор, то коор­динаты вектора результата будут (а *х_v, а *у_v, a *z_v), то есть каждая коор­дината вектора умножается на число а.

2. Сложение векторов С = А+В. Результат сложения — это вектор, соответ­ствующий одной из диагоналей параллелограмма, сторонами которого яв­ляются векторы А и В (рис. 4.32). Все три век­тора лежат в одной плоскости. Для радиус-векторов А и В координаты вектора результата определяются так:

Рис. 4.32. Сложение векторов

Разность двух векторов С = А - В можно определить через операцию сло­жения С = А + (—В). Вектор разности соответствует другой диагонали па­раллелограмма, изображенного на рис. 4.32. При вычитании радиус-векторов соответствующие координаты вычитаются:

3. Скалярное произведение векторов с = А^чВ. Результатом операции является число (скаляр), которое равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

Если А и В — это радиус-векторы, то результат можно вычислить через координаты следующим образом:

4. Векторное произведение векторов С = АхВ. Результатом операции явля­ется вектор, перпендикулярный к плоскости параллелограмма, образован­ного сторонами векторов А и В, а длина вектора равна площади этого па­раллелограмма — подобно тому, как изображено на рис. 4.33.

В случае, когда векторы А и В являются ра­диус-векторами, координаты вектора резуль­тата С вычисляются по формулам:

Обратитевнимание на то, чтоАхВ = -ВхА.

Рис. 4.33. Векторное

Иными словами, порядок сомножителей оп- произведение

ределяет направление вектора результата.

В этом можно убедиться, если в формуле координат поменять местами коор­динаты векторов А и В.

Кроме того, направление вектора результата операции АхВ зависит и от рас­положения координатных осей (система координат, изображенная на рис. 4.33, называется левой [16]). Назовите ось у осью х, а ось х — осью y (получится правая система), а также соответственно поменяйте местами ко­ординаты х и у векторов А и В в формуле векторного произведения. В ре­зультате такой перестановки координаты вектора С поменяют знак, то есть вектор будет иметь противоположное направление.

Вычисление нормалей и углов отражения

Вычисление координат вектора нормали. Рассматривая модели отражения света, вы, наверное, обратили внимание на то, что нормаль к поверхности является важным элементом. Определение вектора нормали к поверхности в заданной точке может быть выполнено различными способами. В значитель­ной степени это определяется типом модели описания поверхности. Для поверхностей, заданных в аналитической форме, известны методы диффе­ренциальной геометрии, которые основываются на вычислении частных про­изводных функций описания [19]. Например, если поверхность задана пара­метрическими функциями

то координаты вектора нормали можно вычислить так [3]:

В случае описания поверхности векторно-полигональной моделью для опре­деления нормалей можно использовать методы векторной алгебры.

Рис. 4.34. Одна грань поверхности Рис. 4.35. Радиус-векторы

Пусть в пространстве задана некоторая многогранная поверхность. Рассмот­рим одну ее плоскую грань в виде треугольника (рис. 4.34). Для вычисления координат вектора нормали воспользуемся векторным произведением любых двух векторов, лежащих в плоскости грани. В качестве таких векторов могут служить и ребра грани, например, ребра 1-2 и 1-3. Однако формулы для век­торного произведения были определены нами только для радиус-векторов. Чтобы перейти к радиус-векторам, введем новую систему координат, центр которой совпадает с вершиной 1, а оси параллельны осям прежней системы. Координаты вершин в новой системе:

Теперь назовем ребро (1-2) вектором А, а ребро (1-3) — вектором В, как по­казано на рис. 4.35. Таким образом, положение нормали к грани в простран­стве будет описываться радиус-вектором N. Его координаты в системе (х¹, у', z¹) выразим формулами для векторного произведения:

Здесь использованы координаты вершин грани до переноса.

Плоская грань может изображаться в различных ракурсах. В каждой конкретной ситуации необходимо выбирать направление нормали, соответст­вующее видимой стороне грани. Если плоская грань может быть видна с об­ратной стороны, то тогда в расчетах отраженного света необходимо выбирать в качестве нормали обратный вектор, то есть (-N).

Если полигональная поверхность имеет не треугольные грани, а, например, плоские четырехугольные, то расчет нормали можно выполнять по любым: трем вершинам грани.

Диффузное отражение. Определим косинус угла между вектором нормали и направлением на источник света.

Первый пример (возможно, самый простой). Источник света располагается на оси z в бесконечности. Если расчеты производятся для видовой системы ко­ординат, то это означает, что источник света располагается на одной оси с камерой.

Косинус угла нормали к грани с осью z равен отношению координаты; и длины радиус-вектора

Второй пример. Источник света располагается в бесконечности и не лежит на оси z. В этом случае существенным является способ задания направления на источник света. Если расположение источника света описывать так же, как и для камеры — двумя углами (а_с и βc), то можно сделать поворот коор­динат так, чтобы ось z была направлена на источник света, и применить фор­мулы для первого примера. Иными словами, необходимо преобразовать ко­ординаты вектора нормали. Здесь можно использовать тот факт, что длина вектора при повороте не изменяется, поэтому достаточно вычислить коорди­нату z_N в повернутой системе координат.

Если расположение источника света описывается вектором, направленным на источник света, то косинус угла с вектором нормали можно вычислить сле­дующим образом. Вначале необходимо определить радиус-вектор, направ­ленный на источник света. Обозначим его как S. Затем, для вычисления косинуса угла между радиус-векторами S и N воспользуемся формулами ска­лярного произведения векторов. Так как

а также

то получим

Очевидно, что для упрощения вычислений целесообразно использовать век­тор S единичной длины; то есть |5] = 1.

Третий пример. Источник света располагается в конечной точке пространст­ва с координатами (х_с, у_с, z_c). Для определения косинуса угла с нормалью вы­полним сдвиг координат источника света так, чтобы вектор нормали в точке поверхности и вектор, направленный на источник света, выходили из общего центра. Выше мы уже рассматривали построение радиус-вектора нормали к треугольной грани путем сдвига (параллельного переноса) координат на (—х₁ ,-y₁,, -z₁). Радиус-вектор, который направлен на источник света и кото­рый можно использовать для расчетов, будет иметь координаты (х_с –х₁, y_с –y₁, z_с –z₁). Затем уже можно вычислить искомый косинус угла через скалярное произведение радиус-векторов, как в предыдущем примере. Зеркальное отражение. Будем считать, что задан радиус-вектор S, направ­ленный на источник света, а также известен радиус-вектор нормали N. Тре­буется найти косинус угла между отраженным лучом и направлением камеры. Вначале необходимо вычислить радиус-вектор отраженного луча. Обозначим его как R. Выполним некоторые геометрические построения, как показано на рис. 4.36.

Рис. 4.36. Векторы Ri, Si и Ni — единичной длины

Для решения нашей задачи вначале рассмотрим единичные векторы R₁ , S₁ и N₁. Поскольку векторы нормали, падающего луча и отраженного луча находятся в одной плоскости, то можно записать R₁ + S₁ = N', где N' — это век» тор, соответствующий диагонали ромба и совпадающий по направлениюc нормалью. Длина вектора N' равна 2cos β. Так как вектор N' по направлению: совпадает с N₁ то

или

Отсюда найдем единичный векторотраженного луча:

Найдем cosθ. Это можносделать, используя скалярное произведение векторовN и S:

Подставим это значение в выражениедляR₁:

Полагая, что искомый векторотраженного луча будет иметь такую же длину, что и вектор падающего луча, то естьR = \S\R₁ получим

Это решение в векторной форме.Запишем координаты вектораR.

Теперь осталось найти косинус угла между отраженным лучом и направле­нием камеры. Обозначим радиус-вектор, направленный на камеру, как К. Ис­комый косинус угла найдем, используя скалярное произведение векторов К и R:

Очевидно, что для упрощения вычислений целесообразно задавать векторы S,N и K единичной длины (тогда и R будет единичным).

Метод Гуро

Этот метод предназначен для создания иллюзии гладкой криволинейной по­верхности, описанной в виде многогранников или полигональной сетки с плоскими гранями. Если каждая плоская грань имеет один постоянный цвет, определенный с учетом отражения, то различные цвета соседних граней очень заметны, и поверхность выглядит именно как многогранник. Казалось бы, этот дефект можно замаскировать за счет увеличения количества граней при аппроксимации поверхности. Но зрение человека имеет способность подчеркивать перепады яркости на границах смежных граней — такой эф­фект называется эффектом полос Маха. Поэтому для создания иллюзии гладкости нужно намного увеличить количество граней, что приводит к су­щественному замедлению визуализации— чем больше граней, тем меньше скорость рисования объектов.

Метод Гуро основывается на идее закрашива­ния каждой плоской грани не одним цветом, а плавно изменяющимися оттенками, вычисляе­мыми путем интерполяции цветов примыкаю­щих граней. Закрашивание граней по методу Гуро осуществляется в четыре этапа.

□ Вычисляются нормали к каждой грани. _ . ., ..

^{v K} Рис. 4.37. Нормаль

□ Определяются нормали в вершинах. Нор- в вершине маль в вершине определяется усреднением

нормалей примыкающих граней (рис. 4.37).

□ На основе нормалей в вершинах вычисляются значения интенсивностей в вершинах согласно выбранной модели отражения света.

П Закрашиваются полигоны граней цветом, соответствующим линейной ин­терполяции значений интенсивности в вершинах.

Вектор нормали в вершине (at) равен ■'

Определение интерполированных значений интенсивности отраженного све­та в каждой точке грани (и, следовательно, цвет каждого пиксела) удобно выполнять во время цикла заполнения полигона. Рассмотрим заполнение контура грани горизонталями в экранных координатах (рис. 4.38).

Рис. 4.38. Заполнение контура грани

Интерполированная интенсивность I в точке (X,Y) определяется исходя из пропорции

Отсюда

Значения интенсивностей I₁ и I₂ на концах горизонтального отрезка пред­ставляют собой интерполяцию интенсивности в вершинах:

или

Метод Фонга

Аналогичен методу Гуро, но при использовании метода Фонга для определе­ния цвета в каждой точке интерполируются не интенсивности отраженного света, а векторы нормалей.

□ Определяются нормали к граням.

О По нормалям к граням определяются нормали в вершинах. В каждой точке закрашиваемой грани определяется интерполированный вектор нормали.

О По направлению векторов нормали определяется цвет точек грани в соот­ветствии с выбранной моделью отражения света.

Рассмотрим, как можно получить вектор нормали в каждой точке грани. Для интерполяции будем оперировать векторами N'_a, N'_b и N'_c, исходящими из центра координат плоскости проецирования и параллельными соответст­вующим нормалям N_a, N_b и N_c в вершинах а, b и с (рис. 4.39).

Рис. 4.39. Интерполяция векторов нормалей Сначала найдем N'i и N'₂:

где X_Na, Y_Na, Z_Na, X_Nh, Y_Nb, Z_Nb, X_Nc, Y_Nc и Z_Nc — координаты векторов N'_a, N'_b и N'_c. Теперь найдем координаты вектора N':

'•'".£.

Вектор N^r параллелен вектору N для нормали в точке (X, Y), поэтому его можно использовать для расчета отражения света так же, как и вектор нор­мали N.

Метод Фонга сложнее, чем метод Гуро. Для каждой точки (пиксела) поверх­ности необходимо выполнять намного больше вычислительных операций. Тем не менее он дает значительно лучшие результаты, в особенности при имитации зеркальных поверхностей.

Общие черты и отличия методов Гуро и Фонга можно показать на примере цилиндрической поверхности, аппроксимированной многогранником (рис. 4.40). Пусть источник света находится позади нас. Проанализируем за­крашивания боковых граней цилиндра.

Рис. 4.40. Отличия закрашивания Фонга и Гуро

На рис. 4.40 на закрашенной поверхности показаны черным цветом ребра граней — это сделано для иллюстрации особенностей закрашивания, на са­мом деле после закрашивания никакого черного каркаса не будет, и поверх­ность выглядит гладкой.

Основные отличия можно заметить для закрашивания передней грани. Она перпендикулярна направлению лучей света. Поэтому нормали в вершинах этой грани располагаются симметрично — они образовывают попарно рав­ные по абсолютной величине углы с лучами света. Для метода Гуро это обу­славливает одинаковые интенсивности в вершинах передней грани. А раз ин­тенсивности одинаковые, то и для любой точки внутри этой грани интенсив­ность одинакова (для линейной интерполяции). Это обуславливает единый цвет закрашивания. Все точки передней грани имеют одинаковый цвет, что, очевидно, неправильно.

Метод Фонга дает правильное закрашивание. Если интерполировать векторы нормалей передней грани, то по центру будут интерполированные нормали, параллельные лучам света (рис. 4.41).

По методу Фонга центр передней грани будет светлее, чем края. Возможно, это не очень заметно на типографском отпечатке рисунка данной книги, од­нако это именно так.

Рис. 4.41. Интерполяция нормалей дает более точный результат

Преломление света

Законы преломления света следует учитывать при построении изображений прозрачных объектов.

Модель идеального преломления. Согласно этой модели луч отклоняется на границе двух сред, причем падающий луч, преломленный луч и нормаль лежат в одной плоскости (в этой же плоскости лежит и зеркально отражен­ный луч). Обозначим угол между падающим лучом и нормалью как щ, а угол между нормалью и преломленным лучом как а^. Для этих углов известен за­кон Снеллиуса, согласно которому

где n₁ и n₂ — абсолютные показатели преломления соответствующих сред. На рис. 4.42 изображен пример отклонения луча при преломлении. В данном случае границами раздела сред являются две параллельные плоскости, на­пример, при прохождении луча через толстое стекло. Очевидно, что угол а₁ равен углу а₄, а угол а₂ равен углу а₃. Иными словами, после прохождения сквозь стекло луч параллельно смещается. Это смещение зависит от толщи­ны стекла и соотношения показателей преломления сред. Возможно, это са­мый простой пример преломления. Вы наверняка уже наблюдали и более сложные объекты, например треугольную призму. Для нее границами сред

Рис. 4.42. Преломление луча

являются непараллельные плоскости (рис. 4.43). Прозрачные объекты могут иметь и криволинейные поверхности, например линзы в разнообразных оптических приборах.

Рис. 4.43. Преломление в треугольной призме

Принято считать, что для вакуума абсолютный показатель преломления ра­вен единице. Для воздуха он составляет 1.00029, для воды — 1.33, для стекла разных сортов: 1.52 (легкий крон), 1.65 (тяжелый крон) [13]. Показатель пре­ломления зависит от состояния вещества, например, от температуры. На практике обычно используют отношение показателей преломления двух сред (n₁/n₂), называемое относительным показателем преломления.

Еще одним важным аспектом преломления является зависимость отклонения луча от длины волны. Это наблюдалось еще И. Ньютоном в опытах по раз­ложению белого света треугольной призмой (рис. 4.44).

Чем меньше длина волны, тем больше отклоняется луч при преломлении. Благодаря этому свойству преломления мы и наблюдаем радугу. Фиолетовый (А,=0.4 мкм) луч отклоняется больше всего, а красный (Х=0.7 мкм) — мень­ше всего. Например, для стекла показатель преломления в видимом спектре изменяется от 1.53 до 1.51 [13].

Таким образом, каждый прозрачный материал описывается показателем пре­ломления, зависящим от длины волны. Кроме того, необходимо учитывать, какая часть световой энергии отражается, а какая часть проходит через объ­ект и описывается преломлением света.

Рис. 4.44. Преломление зависит от длины волны

Кроме идеального преломления в компьютерной графике (хотя и значитель­но реже, вследствие сложности реализации) используется диффузное пре­ломление [32]. Согласно этой модели падающий луч преломляется во все стороны. Примером может служить молочное стекло, обледеневшее стекло.

Вычисление вектора преломленного луча

Сформулируем задачу следующим образом. Заданы два единичных вектора: S₁ — это радиус-вектор, направленный на источник, и N₁— радиус-вектор нормали к границе раздела двух сред. Также должны быть известны два ко­эффициента преломления для данных сред — n₁ и n₂ (или же их отношение).

Требуется найти единичный радиус-вектор преломленного луча T₁. Для решения этой за­дачи выполним некоторые геометрические по­строения (рис. 4.45). Нанесем еще несколько радиус-векторов (далее мы их все для кратко­сти будем называть векторами).

Искомый вектор Т₁ равен сумме двух векторов:

Найдемвначале векторN_t. Он противоположенпо направлению вектору нормали, а его длина Рис. 4.45. Преломление

равна |T₁| cos а₂ = cos а₂ (поскольку по усло­вию задачи Т₁ — единичный). Таким образом, N_T = -N₁ cos а₂. Необходимо определить cos а₂

₂. Запишем закон преломления n₁ sin a₁ = n₁ sin а₂ в виде:

где и = n₁ /п₂.

Воспользуемся тождеством cos²+ sin² = 1. Тогда

или

Значение cos a₂ можно выразить через скалярное произведение единичных векторов S₁ и N₁, то есть cos а₁ = S₁ • N₁. Тогда мы можем записать такое вы­ражение для вектора N_T.

Осталось найти выражение для вектора В. Он располагается на одной прямой с вектором А, причем A= S₁ — N_s Учитывая, что вектор Ns равен N₁ cos a₁

то A =S₁ — N₁ cos a₁. Так как cos α₁ =S₁ N₁ то А = S₁ - N₁ (S₁ N₁).

Поскольку длина вектора А равна sin α₁, а длина вектора В равна sin a₂, то

откуда \В\ = п \А\. Учитывая взаимное расположение векторов А и В, получим В=-пА =n(N₁(S₁-N₁)-S₁).

Теперь мы можем записать искомое выражение для единичного радиус-вектора луча преломления Т\:

Если подкоренное выражение отрицательно, то преломленный луч не суще­ствует. Это соответствует так называемому полному внутреннему отраже­нию [13, 30,32].

Это решение задачи в векторном виде. Используя полученное выражение, можно записать координаты вектора Т₁. Сделайте это самостоятельно в каче­стве упражнения.

Трассировка лучей

Методы трассировки лучей на сегодняшний день считаются наиболее мощ­ными и универсальными методами создания реалистичных изображений. Из­вестно много примеров реализации алгоритмов трассировки для качествен­ного отображения самых сложных трехмерных сцен. Можно отметить, что универсальность методов трассировки в значительной степени обусловлена тем, что в их основе лежат простые и ясные понятия, отражающие наш опыт восприятия окружающего мира.

Как мы видим окружающую нас реальность? Во-первых, нужно определить­ся с тем, что мы вообще способны видеть. Это изучается в специальных дис­циплинах, а в некоторой степени, это вопрос философский. Но здесь мы бу­дем полагать, что окружающие нас объекты обладают по отношению к свету такими свойствами:

□ излучают;

П отражают и поглощают;

D пропускают сквозь себя.

Каждое из этих свойств можно описать некоторым набором характеристик. Например, излучение можно охарактеризовать интенсивностью, направлен­ностью, спектром. Излучение может исходить от условно точечного источ­ника (далекая звезда) или протяженного (скажем, от извергающейся из кра­тера вулкана расплавленной лавы). Распространение излучения может осу­ществляться вдоль достаточно узкого луча (сфокусированный луч лазера), конусом (прожектор), равномерно во все стороны (Солнце), либо еще как-нибудь. Свойство отражения (поглощения) можно описать характеристиками диффузного рассеивания и зеркального отражения. Прозрачность можно описать ослаблением интенсивности и преломлением.

Распределение световой энергии по возможным направлениям световых лу­чей можно отобразить с помощью векторных диаграмм, в которых длина векторов соответствует интенсивности (рис. 4.46—4.48).

Рис. 4.46. Излучение: а — равномерно во все стороны, б — направленно

Рис. 4.47. Отражение: а — идеальное зеркало, б — неидеальное зеркало,

в — диффузное, г — сумма диффузного и зеркального, д — обратное, е — сумма диффузного, зеркального и обратного

В предыдущих разделах мы с вами уже ознакомились с наиболее часто упо­минаемыми видами отражения — зеркальным и диффузным. Реже в литера­туре упоминается обратное, антизеркальное отражение, у которого максимум интенсивности отражения соответствует направлению на источник. Обрат­ным зеркальным отражением обладают некоторые виды растительности на поверхности Земли, наблюдаемые с высоты, например, рисовые поля [9].

Два крайних, идеализированных случая преломления изображены на рис. 4.48.

Рис. 4.48. Преломление: а — идеальное, 6 — диффузное

Некоторые реальные объекты преломляют лучи гораздо более сложным об­разом, например, обледеневшее стекло.

Один и тот же объект реальной действительности может восприниматься в виде источника света, а при ином рассмотрении может считаться предметом, только отражающим и пропускающим свет. Например, купол облачного неба в некоторой трехмерной сцене может моделироваться в виде протяженного (распределенного) источника света, а в других моделях это же небо выступа­ет как полупрозрачная среда, освещенная со стороны Солнца.

В общем случае каждый объект описывается некоторым сочетанием пере­численных выше трех свойств. В качестве упражнения попробуйте привести пример объекта, который обладает одновременно тремя указанными свойст­вами— сам излучает свет и, в то же время, отражает, а также пропускает свет от других источников. Вероятно, ваше воображение подскажет иные примеры, нежели, скажем, докрасна раскаленное стекло.

Теперь рассмотрим то, как формируется изображение некоторой сцены, включающей в себя несколько пространственных объектов. Будем полагать, что из точек поверхности (объема) излучающих объектов исходят лучи света, Можно назвать такие лучи первичными— они освещают все остальное. Важным моментом является предположение, что световой луч в свободном пространстве распространяется вдоль прямой линии (хотя в специальных разделах физики изучаются также и причины возможного искривления). Но

в геометрической оптике полагают, что луч света распространяется прямо­линейно до тех пор, пока не встретится отражающая поверхность или грани­ца среды преломления. Так будем полагать и мы.

От источников излучения исходит по различным направлениям бесчисленное множество первичных лучей (даже луч лазера невозможно идеально сфоку­сировать — все равно свет будет распространяться не одной идеально тонкой линией, а конусом, пучком лучей). Некоторые лучи уходят в свободное про­странство, а некоторые (их также бесчисленное множество) попадают на другие объекты. Если луч попадает в прозрачный объект, то, преломляясь, он идет дальше, при этом некоторая часть световой энергии поглощается. По­добно этому, если на пути луча встречается зеркально отражающая поверх­ность, то он также изменяет направление, а часть световой энергии поглоща­ется. Если объект зеркальный и одновременно прозрачный (например, обыч­ное стекло), то будет уже два луча— в этом случае говорят, что луч расщепляется.

Можно сказать, что в результате действия на объекты первичных лучей воз­никают вторичные лучи. Бесчисленное множество вторичных лучей уходит в свободное пространство, но некоторые из них попадают на другие объекты. Так, многократно отражаясь и преломляясь, отдельные световые лучи прихо­дят в точку наблюдения — глаз человека или оптическую систему камеры. Очевидно, что в точку наблюдения может попасть и часть первичных лучей непосредственно от источников излучения. Таким образом, изображение сцены формируется некоторым множеством световых лучей.

Цвет отдельных точек изображения определяется спектром и интенсив­ностью первичных лучей источников излучения, а также поглощением свето­вой энергии в объектах, встретившихся на пути соответствующих лучей.

Непосредственная реализация данной лучевой модели формирования изо­бражения представляется затруднительной. Можно попробовать построить алгоритм построения изображения указанным способом. В таком алгоритме необходимо предусмотреть перебор всех первичных лучей и определить те из них, которые попадают в объекты и в камеру. Затем выполнить перебор всех вторичных лучей, и также учесть только те, которые попадают в объекты и в камеру. И так далее. Можно назвать такой метод прямой трассировкой лучей. Практическая ценность такого метода вызывает сомнения. В самом деле, как учитывать бесконечное множество лучей, идущих во все стороны? Очевидно, что полный перебор бесконечного числа лучей в принципе невозможен. Даже если каким-то образом свести это к конечному числу операций (например, разделить всю сферу направлений на угловые секторы и оперировать уже не бесконечно тонкими линиями, а секторами), все равно остается главный недостаток метода — много лишних операций, связанных с расчетом лучей, которые затем не используются. Так, во всяком случае, это представляется в настоящее время.

Метод обратной трассировки лучей позволяет значительно сократить пере­бор световых лучей. Метод разработан в 80-х годах, основополагающими считаются работы Уиттеда и Кэя [28]. Согласно этому методу отслеживание лучей производится не от источников света, а в обратном направлении — от точки наблюдения. Так учитываются только те лучи, которые вносят вклад в формирование изображения.

Рассмотрим, как можно получить растровое изображение некоторой трех­мерной сцены методом обратной трассировки. Предположим, что плоскость проецирования разбита на множество квадратиков— пикселов. Выберем центральную проекцию с центром схода на некотором расстоянии от плоско­сти проецирования. Проведем прямую линию из центра схода через середину квадратика (пиксела) плоскости проецирования (рис. 4.49). Это будет пер­вичный луч обратной трассировки. Если прямая линия этого луча попадает в один или несколько объектов сцены, то выбираем ближайшую точку пересе­чения. Для определения цвета пиксела изображения нужно учитывать свой­ства объекта, а также то, какое световое излучение приходится на соответст­вующую точку объекта.

Рис. 4.49. Схема обратной трассировки лучей

Если объект зеркальный (хотя бы частично), то строим вторичный луч — луч падения, считая лучом отражения предыдущий, первичный трассируе­мый луч. Выше мы рассматривали зеркальное отражение и получили форму­лы для вектора отраженного луча по заданным векторам нормали и луча падения. Но здесь нам известен вектор отраженного луча, а как найти вектор | падающего луча? Для этого можно использовать ту же самую формулу зеркального отражения, но определяя необходимый вектор луча падения как 1 отраженный луч. То есть отражение наоборот.

Для идеального зеркала достаточно затем проследить лишь очередную точку пересечения вторичного луча с некоторым объектом. Что означает термин "идеальное зеркало"? Будем полагать, что у такого зеркала идеально ровная отполированная поверхность, поэтому одному отраженному лучу соответст­вует только один падающий луч. Зеркало может быть затемненным, то есть поглощать часть световой энергии, но все равно остается правило: один луч падает — один отражается. Можно рассматривать также "неидеальное зерка­ло". Это будет означать, что поверхность неровная. Направлению отраженно­го луча будет соответствовать несколько падающих лучей (или наоборот, один падающий луч порождает несколько отраженных лучей), образующих некоторый конус, возможно, несимметричный, с осью вдоль линии падающе­го луча идеального зеркала. Конус соответствует некоторому закону распре­деления интенсивностей, простейший из которых описывается моделью Фонга — косинус угла, возведенный в некоторую степень. Неидеальное зер­кало резко усложняет трассировку — нужно проследить не один, а множест­во падающих лучей, учитывать вклад излучения от других видимых из дан­ной точки объектов.

Если объект прозрачный, то необходимо построить новый луч, такой, кото­рый при преломлении давал бы предыдущий трассируемый луч. Здесь также можно воспользоваться обратимостью, которая справедлива и для преломле­ния. Для расчета вектора искомого луча можно применить рассмотренные выше формулы для вектора луча преломления, считая, что преломление про­исходит в обратном направлении (рис. 4.50).

Если объект обладает свойствами диффузного отражения и преломления, то, в общем случае, как и для неидеального зеркала, необходимо трассировать лучи, приходящие от всех имеющихся объектов. Для диффузного отражения интенсивность отраженного света, как известно, пропорциональна косинусу угла между вектором луча от источника света и нормалью. Здесь источником света может выступать любой видимый из данной точки объект, способный передавать световую энергию.

Когда выясняется, что текущий луч обратной трассировки не пересекает ка­кой-либо объект, а уходит в свободное пространство, то на этом трассировка для этого луча заканчивается.

__

зеркального отражения и преломления 1

Обратная трассировка лучей в том виде, в каком мы ее здесь рассмотрели, хоть и сокращает перебор, но не позволяет избавиться от бесконечного числа i анализируемых лучей. В самом деле, данный метод позволяет сразу получить' для каждой точки изображения единственный первичный луч обратной трассировки. Однако вторичных лучей отражения уже может быть бесконечное количество. Так, например, если объект может отражать свет от любого другого объекта, и если эти другие объекты имеют достаточно большие разме­ры, то какие именно точки излучающих объектов нужно учитывать для по­строения соответствующих лучей, например, при диффузном отражении? Очевидно, все точки.

При практической реализации метода обратной трассировки вводят ограни­чения. Некоторые их них необходимы, чтобы можно было в принципе ре­шить задачу синтеза изображения, а некоторые ограничения позволяют зна­чительно повысить быстродействие трассировки. Рассмотрим примеры таких ограничений [28, 32].

1. Среди всех типов объектов выделим некоторые, которые назовем источ­никами света. Источники света могут только излучать свет, но не могут его отражать или преломлять. Будем рассматривать только точечные ис­точники света.

2. Свойства отражающих поверхностей описываются суммой двух компо­нент — диффузной и зеркальной.

|3. В свою очередь, зеркальность также описывается двумя составляющими. Первая {reflection) учитывает отражение от других объектов, не являю­щихся источниками света. Строится только один зеркально отраженный луч г для дальнейшей трассировки. Вторая компонента {specular) означает световые блики от источников света. Для этого направляются лучи на все источники света и определяются углы, образуемые этими лучами с зер­кально отраженным лучом обратной трассировки (г). При зеркальном от­ражении цвет точки поверхности определяется цветом того, что отражает­ся. В простейшем случае зеркало не имеет собственного цвета поверхно­сти.

\ 4. При диффузном отражении учитываются только лучи от источников све­та. Лучи от зеркально отражающих поверхностей игнорируются. Если луч, направленный на данный источник света, закрывается другим объектом, значит, данная точка объекта находится в тени. При диффузном отраже­нии цвет освещенной точки поверхности определяется собственным цве­том поверхности и цветом источников света.

5. Для прозрачных (transparent) объектов обычно не учитывается зависи­мость коэффициента преломления от длины волны. Иногда прозрачность вообще моделируют без преломления, то есть направление преломленного луча t совпадает с направлением падающего луча.

6. Для учета освещенности объектов светом, рассеиваемым другими объек­тами, вводится фоновая составляющая (ambient).

7. Для завершения трассировки вводят некоторое пороговое значение осве­щенности, которое уже не должно вносить вклад в результирующий цвет, либо ограничивают количество итераций.

Согласно модели Уиттеда цвет некоторой точки объекта определяется сум­марной интенсивностью

где X — длина волны, С(Х) — заданный исходный цвет точки объекта, К_а, K_d, K_s, K_r и К_t— коэффициенты, учитывающие свойства конкретного объекта параметрами фоновой подсветки, диффузного рассеивания, зеркаль­ности, отражения и прозрачности.

1_а — интенсивность фоновой подсветки,

1_d— интенсивность, учитываемая для диффузного рассеивания,

1_s — интенсивность, учитываемая для зеркальности,

1_r — интенсивность излучения, приходящего по отраженному лучу,

1_t— интенсивность излучения, приходящего по преломленному лучу.

Интенсивность фоновой подсветки (1_а) для некоторого объекта обычно кон­станта. Запишем формулы для остальных интенсивностей. Для диффузного отражения:

где 1_i (λ) — интенсивность излучения i-го источника света, θ_i — угол между нормалью к поверхности объекта и направлением на i-й источник света.

Для зеркальности:

где р — показатель степени от единицы до нескольких сотен (согласно моде­ли Фонга), а_i— угол между отраженным лучам (обратной трассировки) и направлением на i-й источник света.

Интенсивности излучений, приходящих по отраженному лучу (I_r), а также по преломленному лучу (1_t), умножают на коэффициент, учитывающий ослабле­ние интенсивности в зависимости от расстояния, пройденного лучом. Такой коэффициент записывается в виде е^-βd , где d — пройденное расстояние, β — параметр ослабления, учитывающий свойства среды, в которой распростра­няется луч.

На рис. 4.51 показан пример изображения трехмерной сцены.

Рис. 4.51. Это изображение получено обратной трассировкой лучей

Запишем базовую операцию обратной трассировки лучей в виде функции, которую назовем ЛУЧ. Она вычисляет значение интенсивности для текущего

трассируемого луча. Для описания функции используем псевдокод, близкий по синтаксису языку С.

интенсивность ЛУЧ(номер итерации ind, тип луча,

направление луча dir, номер объекта по) I

Находим точку пересечения луча с ближайшим объектом. Если точка найдена, то {

по = номер пересекаемого объекта.

Вычисляем нормаль к видимой стороне поверхности объекта. Если [Ка > 0) то //задано свойство диффузного отражения

{

Id = Интенсивность для диффузного отражения.

} Если (K_s > 0) то //зеркальные блики от источников света

{

Определяем направление отраженного луча dirR.

I_s = Интенсивность зеркальности.

} Если (К_г > 0) то //зеркальное отражение других объектов

{

Определяем направление отраженного луча dirR.

I_r = ЛУЧ (i.nd+1, отраженный, dirR, no) .

} Если [K_t > 0) то //объект полупрозрачный

{

Определяем направление преломленного луча dirT.

It = ЛУЧ {ind+1, преломленный, dirT, no).

}

return K_a I_a С + K_d I_d С + K_s Is + K_r I_r + K_t It . }

иначе {

Это означает, что луч уходит в свободное пространство. return значение интенсивности по умолчанию. } (

Функция ЛУЧ представлена здесь в схематичном и достаточно обобщенном виде (хотя и не в самом общем — например, здесь не предусмотрено диф­фузное преломление). Для правильного функционирования процесса обрат­ной трассировки необходимо предусмотреть еще некоторые действия, которые не описаны в тексте функции. Сделайте это самостоятельно в виде упражнения. Так, например, необходимо предусмотреть, чтобы при трассировке первичного луча можно было бы получить изображение источников света не заслоняемых другими объектами. Кроме того, когда выпускается преломленный луч от границы внутрь некоторого объекта, и далее, когда он достигнет внешней границы, то в этот момент можно заблокировать появление зеркального луча, направленного внутрь объекта (например, при моделировании стеклянной линзы, заданной в виде объема, ограниченного некоторой поверхностью). Также следует предусмотреть, чтобы зеркальный луч мог быть выпущен при трассировке преломленного луча, но только если луч пе­ресекает иной объект, нежели тот, от границы объема которого началось преломление (например, при изображении рыбок в аквариуме). Для этого предусмотрены аргументы "тип луча" и "номер объекта". Для предотвраще­ния "зацикливания" (например, при попадании луча внутрь пространства, ограниченного зеркальными стенками) предусмотрен аргумент "номер ите­рации". Этот же аргумент можно использовать для распознавания первично­го луча.

Вы, наверное, уже заметили, что определение функции ЛУЧ является рекур­сивным, то есть в теле функции присутствуют вызовы этой же функции. Так_ можно достаточно просто моделировать все дерево лучей: сначала первич­ный луч, затем — порождающиеся вторичные, третичные и так далее. Весь процесс обратной трассировки для одной точки изображения представляется в виде единственной строчки

I = ЛУЧ (\, первичный, направление проецирования, 0).

Для первичного луча необходимо задать направление, соответствующее вы­бранной проекции. Если проекция центральная, то первичные лучи расходят­ся из общей точки, для параллельной проекции первичные лучи параллель­ны. Луч можно задать, например, координатами начальной и конечной точек отрезка, координатой начальной точки и направлением, или же еще как-нибудь. Задание первичного луча полностью определяет проекцию изобра­жаемой сцены. В главе 2 мы рассматривали основные типы проекции и свя­занные с ними преобразования координат. А при обратной трассировке лучей какие-либо преобразования координат вообще не обязательны. Проекция по­лучается автоматически — в том числе, не только плоская, но и, например, цилиндрическая или сферическая. Это одно из проявлений универсальности метода трассировки.

В ходе трассировки лучей необходимо определять точки пересечения прямой линии луча с объектами. Способ определения точки пересечения зависит от того, какой это объект, и каким образом он представлен в некоторой графи-

ческой системе. Так, например, для объектов, представленных в виде много­гранников и полигональных сеток, можно использовать известные методы определения точки пересечения прямой и плоскости, рассматриваемые в ана­литической геометрии [16]. Однако если ставится задача определения пере­сечения луча с гранью, то необходимо еще, чтобы найденная точка пересече­ния лежала бы внутри контура грани.

Известны несколько способов проверки произвольной точки на принадлеж­ность полигону. Рассмотрим две разновидности, в сущности, одного и того же метода (рис. 4.52).

Рис. 4.52. Точка является внутренней, если: а — точка принадлежит секущему отрезку, б — число пересечений нечетно

Первый способ. Находятся все точки пересечения контура горизонталью, со­ответствующей координате 7 заданной точки. Точки пересечения сортируют­ся по возрастанию значений координат X. Пары точек пересечения образуют отрезки. Если проверяемая точка принадлежит одному из отрезков (для этого сравниваются координаты X заданной точки и концов отрезков), то она явля­ется внутренней.

Второй способ. Определяется точка, лежащая на одной горизонтали с испы­туемой точкой, причем требуется, чтобы она лежала вне контура полигона. Найденная внешняя точка и испытуемая являются концами горизонтального отрезка. Определяются точки пересечения данного отрезка с контуром поли­гона. Если количество пересечений нечетно, это значит, что испытуемая точ­ка является внутренней [32, 33].

Если точек пересечения луча с объектами несколько, то выбирается ближай­шая точка по направлению текущего луча.

В сложных сценах со многими объектами для нахождения ближайшей точки пересечения необходимо перебирать все объекты. Если каждый объект пред­ставляется многими гранями-полигонами, то нужно анализировать еще и каждую грань на предмет пересечения с лучом. Для ускорения этого процес­са используется метод оболочек [28]. Суть данного метода в том, что при

переборе объектов анализируются сначала не сами объекты, а более простые формы — оболочки. Оболочка должна удовлетворять следующим требова­ниям. Во-первых, она должна охватывать объект, который должен целиком умещаться в ней. Если луч не пересекает оболочку, значит, этот же луч не пересечет объект. Во-вторых, тороизддоа. о^р&дадеиил тред&чекшя я^чъ vi с&отуо«гезл ДОТСКЖ&. ^\яга> ъъъ ^ложло ъроще, а тлавное, наиболее быстрой. Использование оболочек позволяет в ходе перебора объектов сразу отбрасы­вать те, которые заведомо не пересекаются с лучом. Но если луч пересекает оболочку, тогда ищется точка пересечения луча с объектом. Очевидно, что если луч пересек оболочку, то не обязательно этот луч пересечет соответст­вующий объект — форма оболочки не совпадает с формой объекта.

В качестве оболочек можно использовать шар, параллелепипед, цилиндр и другие простые формы.

Если объектов достаточно много, то объекты (или оболочки) можно объеди­нять в группы — для нескольких объектов одна оболочка. Таким образом, выстраивается ужа иерархия оболочек: на нижнем уровне оболочки для оди­ночных объектов, на следующем уровне — оболочки оболочек и так далее. Такая древовидная структура может иметь несколько уровней. Это позволяет существенно ускорить процесс перебора, сделать время работы пропорцио­нальным (теоретически) логарифму числа объектов.

Необходимо отметить, что метод оболочек можно применять не только для трассировки лучей. Этот метод является достаточно универсальным методом ускорения вычислительных процессов переборного типа. По крайней мере, в алгоритмах компьютерной графики он используется часто. Иногда метод оболочек называется по-другому, но от этого суть не меняются.

Для упрощения некоторых операций, выполняемых в ходе обратной трасси­ровки, можно использовать следующий способ. Он разработан автором этой книги и заключается в следующем. В ходе трассировки лучей с каждым лу­чом связывается локальная система координат. Центр этой трехмерной де­картовой системы располагается в точке, из которой направляется текущий луч трассировки. Ось Z направлена противоположно лучу, расположение осей X и Г безразлично. Таким образом, координаты X и Y точки пересечения луча с объектами всегда равны нулю. Это позволяет упростить нахождение координат точки пересечения луча, поскольку направления луча всегда одно и то же, и вычислять нужно только координату Z. Для плоских полигональ­ных граней это можно сделать с помощью линейной интерполяции коорди­нат Z соответствующих вершин. Кроме того, упрощаются и некоторые дру­гие операции. В частности, для отбора ближайшей точки пересечения достаточно анализировать только координату Z. Следует заметить, что упрощение |

отдельных операций достигается за счет усложнения других— например, необходимо вычислять коэффициенты преобразования координат для каждой локальной системы, а также выполнять преобразования координат объектов.

В главе 7 приведен пример графической программы (studexl3), реализующей данный способ, а здесь мы еще рассмотрим некоторые теоретические аспек­ты. На рис. 4.53 показаны локальные координаты.

Рис. 4.53. Локальные координаты для текущих лучей

Пусть из точки P_i выпущен i-й луч, который пересек ближайший объект в точке Р_i+1. Координаты точки Р_i+1 в системе координат (X_i, Y_i, Z_i) рав­ны (0, 0, z_p). Предположим, что направление нового, (i+1)-го, луча опреде­ляется в виде параллельного ему радиус-вектора в этой же системе коорди­нат, то есть (X_i,Y_i,Z_i)Обозначим координаты этого радиус-вектора через (х_r у_r z_r). Как определить новую систему координат, связанную с (i+ 1)-м лучом? Эту систему координат можно получить следующим образом. Вначале сдви­нуть систему (X_i, Y_i, Z_i) по оси Z, на величину z_p, а затем выполнить поворот так, чтобы ось Z_i+1 была бы направлена против нового луча. Запишем форму­лы преобразований в следующем виде:

X _i+1 = Xi cos a - Yi sin a,

Y _i+1 = Xi sin a cos β + Y_i cos a cos β -(Zi - z_p) sin β,

Z _i+1 = Xi sin a sin β + Уi cos a sin β + (Zi - z_p) cos β,

где а и β— углы поворота.

Выразим поворот не углами, а через координаты радиус-вектора, который указывает новое направление оси Z. Рассмотрим рис. 4.54. Пусть радиус вектор имеет координаты (х, у, z). Длина ра­диус-вектора равна R:

а длина проекция на плоскость (XOY):

i Тогда:

Рис. 4.54. Поворот осей

Подставим эти значения в формулы преобразования координат, учитывая, что радиус-вектор нового трассируемого луча направлен противоположно направлению оси Z _i+1, то есть (х, у, z) = (-x_r, –y_r , -z_r). Запишем формулы в следующем виде:

В матричной форме

Матрица A_i+1 соответствуетаффинному преобразованию сдвига и поворота. В ходе трассировки лучей нам необходимо выполнять преобразования из ми­ровой системы в систему координат текущего луча. Обозначим матрицу пре­образований через М_i+1

^Поскольку М₁= А₁ то

Таким образом, матрица для системы координат нового луча образуется ум­ножением матрицы предыдущего луча на матрицу сдвига и поворота.

Важным моментом при расчетах отражения и преломления является опреде­ление нормали к видимой для текущего трассируемого луча стороны участка поверхности (рис. 4.55).

Введение локальной системы координат значительно упрощает такой выбор направления нормали. Можно руководствоваться следующим правилом — среди двух противоположно направленных векторов нормали (N и —N) выби­рается тот, у которого соответствующий радиус-вектор в локальной системе координат (X_i, Y_i, Z_i) имеет положительную координату Z.

| Рассмотрим вычисление вектора зеркально отраженного луча (Луч _i). Для : этого воспользуемся уже известной нам векторной формулой, которую здесь [ запишем для единичных векторов: R = 2 N (N S) - S. Вычисляемый по этой формуле вектор R направлен так же, как искомый вектор Луч_i+1, а единич­ный вектор S нацелен противоположно вектору падающего луча, то есть век-: тору Луч _t

Рис. 4.55. К выбору нормали видимой стороны объекта

Еще раз подчеркнем, что речь здесь идет о лучах обратной трассировки, при которой падающий и отраженный лучи имеют противоположный смысл световым лучам, распространяемым в реальном случае.

Координаты вектора S составляют (0, 0,1) в локальной системе. Обозначив координаты единичного вектора нормали N через (x_N, y_N, z_N). Найдем вначале скалярное произведение (N S) = (0 • x_N + 0 • y_N + 1 • z_N) ⁼ z_N. Координаты век-j тора отраженного луча (R) составляют

Очевидно, что направление вектора не изменится, если все его координата! разделить на два. Тогда можно записать для координат радиус-вектора отраженного луча (Луч _i+1 = 0.5 К) такие формулы:

Теперь займемся вычислением координат преломленного луча. Для этого воспользуемся формулой идеального (зеркального) преломления:

Так как вектор S= (0, 0, 1), то

Если подкоренное выражение отрицательно, то преломленный луч не может быть построен.

Использование локальной системы координат, ось Z которой совпадает с ли­нией текущего трассируемого луча, позволяет упростить также определение пересечения с оболочкой объекта. Наиболее просто определяется пересечение луча с оболочкой-шаром. Поскольку в любой локальной системе коорди­нат, задаваемой линейными преобразованиями, проекция шара есть круг, то достаточно узнать локальные координаты центра круга (Хс и Yc) и проверить, выполняется ли следующее соотношение: (Хс)² + (Ус)² < (радиус оболочки)². Если выполняется, то текущий луч пересекает оболочку.

В качестве оболочки можно использовать и другую форму, например цилиндр или параллелепипед. Поскольку определение пересечения луча с произвольно повернутым цилиндром или параллелепипедом уже не столь про­стая задача, то здесь можно использовать следующее. Хотя расположение осей координат X, Y локальной системы ранее было нам безразлично (глав­ное, чтобы ось Z лежала бы на линии луча), но, оказывается, приведенные выше формулы преобразования координат для локальной системы обеспечи­вают сохранение одинаковой ориентации для вертикальных линий. Ранее мы уже отмечали это свойство выбранного способа поворота осей применитель­но к аксонометрической проекции. Поэтому возможно определить проекции оболочки для всех поворотов локальных систем координат в виде прямо­угольника некоторых размеров в плоскости (XOY). Определение пересечения луча с оболочкой сводится к проверке, находится ли точка локальных коор­динат (Х _i , Y _i) = (0, 0) внутри прямоугольника, описывающего оболочку.

А теперь сделаем общие выводы по методу обратной трассировки лучей. По­ложительные черты:

1. Универсальность метода, его применимость для синтеза изображений достаточно сложных пространственных схем. Воплощает многие законы геометрической оптики. Просто реализуются разнообразные проекции.

2. Даже усеченные варианты данного метода позволяют получить достаточ­но реалистичные изображения. Например, если ограничиться только пер­вичными лучами (из точки проецирования), то это дает удаление невиди­мых точек. Трассировка уже одного-двух вторичных лучей дает тени, зер­кальность, прозрачность.

3. Все преобразования координат (если таковые есть) линейны, поэтому дос­таточно просто работать с текстурами.

4. Для одного пиксела растрового изображения можно трассировать не­сколько близко расположенных лучей, а потом усреднять их цвет для уст­ранения эффекта ступенчатости (антиалиасинг).

5. Поскольку расчет отдельной точки изображения выполняется независимо от других точек, то это может быть эффективно использовано при реализации данного метода в параллельных вычислительных системах, в которых лучи могут трассироваться одновременно.

Недостатки:

1. Проблемы с моделированием диффузного отражения и преломления.

2. Для каждой точки изображения необходимо выполнять много вычисли тельных операций. Трассировка лучей относится к числу самых медленных алгоритмов синтеза изображений.