7. 2. Общие сведения из теории конформного отображения

поверхностей

Под взаимным отображением поверхностей понимают взаимно однозначное соответствие их точек, когда одной точке поверхности соответствует одна и только одна точка другой поверхности.

На поверхности эллипсоида, как известно, положение точек определяется геодезическими широтами B и долготами L . На плоскости – декартовыми прямоугольными координатами x, y.

Таким образом, любое взаимное отображение поверхности эллипсоида и плоскости определяется функциями

x = f₁( B, L ); y = f₂ (B, L ) ( 7. 1 )

B = φ₁ ( x, y ); L = φ₂ ( x, y ) ( 7. 2 )

Для конформных отображений эти функции должны быть аналитическими ( дифференцируемыми ) функциями комплексных переменных и записаны в виде

x + iy = f( B + iL ) ( 7. 3 )

B + i L = φ( x + iy ) ( 7. 4 )

Кроме того, получим аналитическое представление основного свойства конформных проекций, заключающегося в том, что масштаб длин не зависит от направления. На рисунке 7. 2 имеем изображение на плоскости меридиана АВ и параллели АС точки А. Угол γ, образованный прямой, параллельной изображению осевого меридиана (оси абсцисс) и меридиана точки А – сближение меридиана в данной точке.

Рис. 7. 2

Из подобных треугольников АВВ/ и АСС/ запишем ( 7. 5 ) Частным масштабом длин m называют отношение бесконечно малого отрезка на плоскости к соответствующему ему отрезку на эллипсоиде. Поскольку в конформных проекциях масштаб не зависит от направления, то для его вычисления можно взять отношение любых отрезков.

Возьмем меридиан и параллель эллипсоида и их изображение на плоскости, для которых можем записать

( 7. 6 )

Полные дифференциалы плоских координат запишем, учитывая ( 7. 1 ) или ( 7. 3 ), в следующем виде

( 7. 7 )

где слагаемые в правых частях выражают частные дифференциалы и характеризуют изменения плоских координат при изменении только широты или только долготы на эллипсоиде. Это будет иметь место при движении точки по меридиану или параллели, следовательно, можем записать, согласно рис. 7. 2, формулы ( 7. 5 ), учитывая ( 7. 6 ), в виде

( 7. 8 )

Далее можем записать из ( 7. 8 )

( 7. 9 )

( 7. 10 )

( 7. 11 )

Уравнения в частных производных ( 7. 10 ) в теории отображений поверхностей носят название уравнений Коши – Римана для конформных отображений.

Таким образом получены уравнения, в общем виде определяющие конформные проекции эллипсоида на плоскости. Задавая конкретный вид функций ( 7. 1 ) – ( 7. 4 ), удовлетворяющих ( 7. 10 ) получают конкретную проекцию.

Аналогичным образом получают основные формулы для обратного отображения, взяв за основу уравнения ( 7. 2 ) и ( 7. 4 ).