4. Основные принципы помехоустойчивого кодирования. Понятие кодового расстояния. Коды с обнаружением и исправлением ошибок.

Кодирование с исправлением ошибок, по существу, представляет собой метод обработки сигналов, предназначенный для увеличения надежности передачи по цифровым каналам. Хотя различные схемы кодирования очень непохожи друг на друга и основаны на различных математических теориях, всем им присущи два общих свойства. Одно из них - использование избыточности. Закодированные цифровые сообщения всегда содержат дополнительные, или избыточные, символы. Эти символы используют для того, чтобы подчеркнуть индивидуальность каждого сообщения. Их всегда выбирают так, чтобы сделать маловероятной потерю сообщением его индивидуальности из-за искажения при воздействии помех достаточно большого числа символов. Второе свойство состоит в усреднении шума. Эффект усреднения достигается за счет того, что избыточные символы зависят от нескольких информационных символов.  Коды Хэмминга Коды, предложенные Р. Хэммингом, обладают способностью обнаружить и исправить одиночные ошибки. Предположим, что имеется код, содержащий m информационных разрядов и k контрольных разрядов. Запись на k позиций определяется при проверке на четность каждой из проверяемых k групп информационных символов. Пусть было проведено k проверок. Если результат проверки свидетельствует об отсутствии ошибок, запишем 0, если есть ошибка - 1. Запись полученной последовательности символов образует двоичное число. Свойство кодов Хэмминга таково, что контрольное число указывает номер позиции, где произошла ошибка. При отсутствии ошибки в коде данная последовательность будет содержать только нули.  По методу Хэмминга могут быть построены коды разной длины. Чем больше длина кода, тем меньше относительная избыточность. Например, для контроля 48-разрядного числа, потребуется только шесть дополнительных (контрольных) разрядов. 

5. Основные понятия булевой алгебры. Элементарные логические функции и их свойства. Нормальные формы булевых функций.

Булева алгебра (алгебра логики) - это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Под высказыванием понимается предложение, в котором рассматривается, что оно истинно или ложно. Истинные значения - истина (true) и ложь (false) в вычислительной технике обозначают соот­ветственно 1 и 0. Множество {1,0} называется множеством ис­тинных значений. Отрицанием высказывания В называется простое высказы­вание, истинное тогда и только тогда, когда исходное высказы­вание В ложно, и ложным оно будет, если исходное высказыва­ние истинно. Конъюнкцией высказываний называется сложное высказыва­ние, которое является истинным тогда и только тогда, когда истинны все простые составляющие высказывания. Дизъюнкцией высказываний называют сложное высказыва­ние, которое является истинным тогда, когда истинным явля­ется хотя бы одно из простых высказываний, включенных в сложное высказывание. Если оба высказывания ложны, то слож­ное высказывание является ложным. Двоичной, булевой функцией от набора двоичных переменных называется функция, результатом которой могут быть только значения 0 и 1. Любую булеву функцию можно задать с помощью таблицы истинности, поскольку она определяет истинность или ложность сложного высказывания в зависимости от истинности или ложности составляющих высказываний.  Конечность области определения функции имеет важное преимущество – такие функции можно задавать перечислением значений при различных значениях аргументов. Таким образом, различных функций n переменных столько, сколько различных двоичных наборов длины 2n*. А их 2 в степени 2n.  Функций от двух аргументов шестнадцать. В них входят 6 вырожденных функций (константы: F₀=0 и F₁₅=1; переменные: F₃=x₁ и F₅=x₂; инверсии: F₁₂=not x₁ и F₁₀=not x₂).

В логике переменные имеют всего два возможных значения, поэтому количество различных функций ограничено и здесь они перечислены все.  В ассемблерах конъюнкция, дизъюнкция и отрицание обычно записываются соответствующими английскими словами (and, or, not). В языках же высокого уровня эти функции могут обозначаться как словами (Паскаль), так и специальными знаками (в C использованы знаки "&", "|" и "~")

Нормальные формы Булевых функций Нормальные формы - это особый класс аналитических выражений, используемых при решении задачи минимизации Булевых функций и для перехода от табличной формы задания к аналитической. Нормальные формы строятся на основании операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, причем отрицание только единственной переменной.  Определение: Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называется конъюнкция (дизъюнкция) конечного числа попарно различимых переменных или их отрицаний. Элементарную конъюнкцию (дизъюнкцию) принято называть конъюнктивным (дизъюнктивным) термом. В частном случае терм, как конъюнктивный так и дизъюнктивный может состоять из единственной буквы (литерала). Под буквой будем понимать аргумент Булевой функции и его отрицания. Рангом терма называется количество букв входящих в него. Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой Булевой функции называется дизъюнкция (конъюнкция) конечного числа попарно различимых конъюнктивных (дизъюнктивных) термов. Каноническая нормальная форма. Конституентой единицы (нуля) называется конъюнктивный (дизъюнктивный) терм максимального ранга. Т.е. для Булевой функции от n переменных конституента включает в себя n букв.  Свойство конституенты: Конституента единицы (нуля) принимает значение единицы (нуля) на одном и только одном наборе аргументов. Определение: Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется канонической, если все ее дизъюнктивные (конъюнктивные) термы представляют собой конституенты единицы (нуля). Иногда канонические формы называют совершенными.