5.8. Элементарная кубическая кривая Безье

Элементарная кубическая кривая Безье определяется четырьмя вершинами , , , (рис.5.4) и описывается уравнением:

, .

Рис. 5.4. Кривая Безье

Основные свойства кривых Безье:

• непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;

• кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;

• при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой отрезок прямой линии;

• прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;

• кривая Безье симметрична, т.е. обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;

• масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает ее стабильности, так как она, с математической точки зрения, "аффинно инвариантна";

• изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;

• степень кривой всегда на единицу меньше числа опорных точек (т.е. при трех опорных точках форма кривой - парабола);

• размещение дополнительных опорных точек вблизи одной позиции увеличивает ее "вес" и приводит к приближению траектории кривой к данной позиции;

• окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;

• невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые).

5.9. В-сплайны

По заданному массиву элементарная кубическая B-сплайновая кривая (рис. 5.5) определяется при помощи векторного уравнения, имеющего следующий вид:

, .

Рис. 5.5. Элементарная кубическая B-сплайновая кривая

Свойства кубической B-сплайновой кривой

1. Лежит в выпуклой оболочке, порожденной вершинами опорной ломанной, и, как правило, не проходит ни через одну из них.

2. Касательная в концевой точке параллельна отрезку , а в концевой точке - отрезку .

5.10. Поверхности Безье

По заданному массиву поверхность Безье определяется при помощи векторного уравнения, имеющего следующий вид (рис.5.6):

, ,

где , - многочлены Бернштейна.

Свойства поверхностей Безье являются прямыми следствиями свойств элементарных кривых Безье.

Рис.5.6. Поверхность Безье

5.11. B-сплайновые поверхности

По заданному массиву бикубическая B-сплайновая поверхность определяется при помощи векторного уравнения, имеющего следующий вид: , , функциональные коэффициенты и в котором задаются следующими формулами:

, ,

, .

Формулы для многочленов отличаются от приведенных только тем, что всюду вместо переменной u стоит переменная v. Свойства бикубических B-сплайновых поверхностей являются прямыми следствиями свойств элементарных кубических B-сплайновых кривых.

Контрольные вопросы и задания

1. Почему в компьютерной графике кривые и криволинейные поверхности принято представлять в параметрической форме?

2. Дайте определение кривой Безье. Назовите её свойства.

3. Перечислите свойства кубической B-сплайновой кривой.

4. Каким образом строятся сплайновые поверхности?