Тема 7. Інтерполяція і апроксимація функцій заданих таблично

7.1. Постановка задачі

Фахівцю в своїй діяльності часто приходиться мати справу з функціями, що задані таблично. Це дані експерименту, спостережень, складні і громіздкі аналітичні залежності, таблиці автоматизованого проектування тощо. На рисунку 27 в загальному вигляді представлена така функція та її інтерпретація на координатній площині. Аргументи такої функції називаються вузлами інтерполяції.

X	x1	x2	…	xi	…	xn
Y	y1	y2	…	yi	…	yn

Рисунок – 27. Функція в табличному та графічному виглядах

При роботі з такими даними приходиться знаходити значення функції у в точках аргументу х, відмінних від вузлів інтерполяції. Така операція називається інтерполяцією функції. При цьому розрізняють інтерполяцію в вузькому сенсі, якщо , тобто значення функції шукають у внутрішньому діапазоні таблиці, та екстраполяцією, якщо функцію потрібно знайти за межами інтервалу .

В цьому випадку шукану функцію заміняють аналітичною функцією , яка була б деякою мірою близькою до і, разом з тим, просто обчислювалась. Така функція називається апроксимуючою (наближеною).

На практиці найчастіше використовують такі види апроксимуючих функцій:

1. Алгебраїчні поліноми степені n . Цей метод має очевидні переваги. Поліноми легко обчислювати, додавати, віднімати, перемножувати, зручно диференціювати та інтегрувати.

2. Тригонометричні ряди виду: . Така апроксимація особливо зручна, коли функція періодична.

3. Дробово-раціональні функції . Цей вид функцій найчастіше використовують для апроксимації результатів дослідів, здобутих статистичним способом.

4. Функції довільного вигляду ( і т.д.), які б найбільш точно відповідали розміщенню точок на координатній площині.

7.2. Інтерполяційний поліном Лагранжа

Розглянемо апроксимацію функції таким поліномом , графік якого обов’язково проходив би через всі табличні точки (див. рисунок 27). Тобто . Для виведення формули такого полінома розглянемо спочатку допоміжну задачу: побудуємо спочатку поліном такий, що при та . Ці умови можна записати так

Такий поліном може мати вигляд:

. (7.1)

Якщо і враховуючи, що , маємо:

. Звідси довільний коефіцієнт: . Підставивши в (7.1), маємо:

. (7.3)

Дійсно для всіх точок таблиці, за виключенням , цей поліном перетворюється в нуль. І лише при його чисельник дорівнює знаменнику, тобто .

Тепер перейдемо до розв’язку початкової задачі. В кожній точці таблиці, маємо не 1, а . Тобто значення знайденого полінома (7.3) потрібно помножити на . Отже, шуканий поліном, який називається поліномом Лагранжа і позначається першою літерою його прізвища буде мати вигляд:

.

Для реалізації в системі MathCad цю формулу можна представити:

.

Приклад використання

7.3. Табличний метод застосування полінома Лагранжа

В деяких випадках зручніше інтерполяційні значення визначати в табличній формі. Для цього створюють таблицю:

	j
i					…
					…
					…
					…
	…	…	…	…	…	…	…
					…

В цьому випадку поліном Лагранжа має вигляд

,

де – добуток усіх діагональних елементів таблиці;

– і-те значення табличної функції;

– добуток усіх елементів і-го рядка таблиці, включаючи також і діагональний елемент.

Застосуємо цей метод для попередньої задачі: