2. Определение оптимальных кратностей резервирования устройств и минимальной стоимости изделия.

В случае ненагруженного резервирования вероятность безотказной работы i-го устройства за заданное время t_тр. вычисляем по формуле:

(2)

В частности, в случае нерезервированного устройства (m_i = 0):

(3)

При однократном резервировании (m_i = 1):

(4)

При двукратном резервировании (m_i = 2):

(5)

Решение задачи оптимизации удобно выполнить градиентным методом – методом наискорейшего спуска. Суть метода состоит в том, что условный минимум функции при ограничении отыскивается путем последовательных шагов из начальной точки (в которой все m_i = 0) по направлению наибольшего значения производной функции .

Значения показателя надежности устройств P_i(m_i), вычисленные по формулам (3-5) заносим в табл. 5.

Таблица 5

Значения показателей надежности устройств

mi	P1	P2	P4	P6
0	0,81326	0,83767	0,57198	0,64113
1	0,98136	0,98605	0,89152	0,92613
2	0,99874	0,99919	0,98077	0,98947

Затем с учетом табл. 5 составляем табл. 6, которую заполняем значениями δ_i(m_i) – удельного увеличения надежности в перерасчете на единицу стоимости. Удельное увеличение надежности рассчитывается по формуле:

(6)

Разность в формуле (6) равна абсолютному увеличению надежности i-го устройства после того, как к нему добавили одно резервное устройство. Второй сомножитель равен относительному увеличению надежности, а все выражение равно удельному увеличению надежности, то есть относительному увеличению надежности, которое получено за счет единицы стоимости (затрат) резервного устройства. Стоимости устройств: С₁ = 1,5; С₂ = 2,2; С₄ = 3,6; С₆ = 1,0. Для удобства вычислений напишем формулу (6) иначе:

(7)

После добавления второго резервного устройства удельное увеличение надежности равно:

(8)

Таблица 6

Удельные увеличения надежности

mi	δ1	δ2	δ4	δ6
1	0,13781	0,08051	0,15518	0,44452
2	0,01180	0,00606	0,02781	0,06840

Из чисел табл. 6 составляем последовательность всех δ_i(m_i) по мере их убывания:

(9)

В соответствии с этой последовательностью осуществляем многошаговый процесс оптимального резервирования. Сначала вычислим надежность без резервирования:

Так как P(t) < P_тр., то к устройству, первому из последовательности (9), добавляем одно резервное устройство и снова рассчитываем P(t). И так до тех пор, пока не выполнится неравенство: P(t) ≥ P_тр.

;

;

;

;

;

.

P(t) = 0,93907 > P_тр., т.к. выбранные кратности резервирования m_i обеспечивают требуемую надежность P_тр. при минимальной стоимости изделия. Эту стоимость, при оптимальных кратностях резервирования, вычисляется:

(10)

Рис.1. Логическая схема изделия с принятым оптимальным резервированием.