Свойства элементарных функций алгебры логики

Пусть х - некоторая логическая переменная. Тогда справедливы следующие равенства:

x*0 = 0

x+x = x x*1 = x

x+0 = x x* = 0

x+1 = 1 x+ = 1

x*x = x

Кроме того, дизъюнкция и конъюнкция обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных арифметических операций сложения и умножения:

1. Свойство ассоциативности (сочетательный закон):

x₁+(x₂+ x₃)= (x₁ + x₂) + x₃ x₁*(x₂*x₃)= (x₁*x₂)*x₃

2. Свойство коммутативности (переместительный закон):

x₁+ x₂= x₂+ x₁ x₁*x₂= x₂*x₁

3. Свойство дистрибутивности (распределительный закон):

x₁*(x₂+ x₃)= x₁*x₂+ x₁*x₃

Свойство дистрибутивности определяет правила раскрытия скобок или взятия в скобки логических выражений.

Имеют место также следующие правила де Моргана:

Правила де Моргана легко доказать, сравнив таблицы соответствия для левых и правых частей приведенных равенств.

Приведенные элементарные свойства логических функций можно использовать для упрощения логических выражений, например:

В частности, эти свойства можно использовать для упрощения логических функций, получаемых из таблиц соответствия. Например, логическую функцию двух переменныхf₈, полученную из приведенной выше таблицы соответствия, можно упростить следующим образом:

Таким образом, алгебра логики во многом подобна обычной алгебре, но имеет некоторые отличия:

• в отличие от обычных переменных логические переменные могут принимать только два значения: 0 и 1;

• в алгебре логики определены только две операции: логические умножение и логическое сложение;

• имеют место приведенные выше элементарные свойства.

Функционально полные системы булевых функций

Система булевых функций называется функционально полной, если любую сколь угодно сложную логическую функцию можно представить в виде комбинации базовых функций этой системы.

В математической логике доказывается, что логические функции х₁*х₂, х₁+х₂иобразуют функционально полную систему функций.

Функциональной полнотой обладают также следующие функции:

1) х₁+х₂и

2) х₁*х₂и

3) (2ИЛИ-НЕ)

4) (2И-НЕ)

Комбинационные схемы

Устройство, преобразующее дискретную информацию, в общем случае имеет n входов для входных сигналов и m выходов, с которых снимаются выходные сигналы.

Преобразование информации в МПС производится электронными устройствами (логическими схемами) 2-х типов: комбинационными схемами (КС) и цифровыми автоматами (ЦА).

В комбинационных схемах совокупность выходных сигналов (выходное словоY) в любой момент времени однозначно определяется входными сигналами (входным словомХ), поступающими на входы в тот же момент времени. Реализуемый в комбинационных схемах способ обработки информации зависит только от комбинации входных сигналов и выходные сигналы вырабатываются сразу же после подачи входной информации.

Закон функционирования КС задается либо с помощью таблицы соответствия входных и выходных слов, либо в аналитической форме с использованием логических функций.

Комбинационная схема является техническим аналогом булевой функции и выполняет соответствующее этой функции преобразование информации. Число входов КС должно равняться числу аргументов булевой функции, а число ее выходов - количеству компонентов вектора Y={y₁, y₂, ..., y_k}, если логическая функция является векторной.