1. Постановка задачи
Методом переменных направлений решить задачу Дирихле для уравнения
,
(1)
(2)
в области
,
где
–
граница квадрата
.
,
,
,
– точное решение задачи (1), (2).
2. Разностная аппроксимация задачи
Пусть
–
замкнутый квадрат,
–
его граница,
–
заданная на
достаточно гладкая функция. Задача
Дирихле состоит в следующем. Требуется
найти непрерывную на
функцию
,
удовлетворяющую на открытом квадрате
уравнению (1) и обращается в
на
границе квадрата.
Функции
достаточно гладкие, удовлетворяющие
условиям
,
(3)
Задача Дирихле
(1), (2) имеет единственное решение
.
Положим
,
,
,
.
Построим сетки
(
–
множество узлов, лежащих на
)
Заменим исходную дифференциальную задачу (1), (2) разностной задачей.
,
(4)
на
(5)
,
,
.
Введём обозначения:
,
(6)
,
(7)
.
3. Метод переменных направлений для задачи Дирихле
Напишем для задачи (4), (5) двухслойную разностную схему переменных направлений или дробных шагов
,
(8)
,
(9)
.
В разностной схеме
(8), (9) шаг
по времени делится на два полушага.
Разностное уравнение (8) отвечает первому
полушагу, в нём величины
и
считаются уже известными (в частности,
),
а неизвестные имеют верхний индекс
.
Правая часть задана. Перепишем разностное
уравнение (8), предварительно умножив
его на
,
следующим образом:
(10)
где
известно, и присоединим к разностному уравнению краевые условия
(11)
в соответствии с условием (5).
Разностная задача (10), (11) распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному значению , . Разностная краевая задача (10), (11) решается методом прогонки при каждом отдельно. Прогонка осуществляется по индексу , то есть в направлении оси .
После того как найдены все неизвестные на промежуточном слое с номером , переносим их в разностном уравнении (9), соответствующем второму полушагу, вправо. Это разностное уравнение переписываем в виде
,
(12),
где
известно, и присоединяем к уравнению (12) в соответствии с условием (5), краевые условия
.
(13)
Задача (12), (13) тоже распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному , . Каждая такая задача решается методом прогонки. Прогонка осуществляется теперь уже по индексу , то есть в направлении оси .