Задание № 1. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева Метод простых итераций

Требуется решить систему уравнений

, (1)

где – симметрическая, положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид

, (2)

где где – соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы или их оценки снизу и сверху. Можно положить

,

.

Из (2) следует, что

(3)

Полагаем начальное приближение Итерации продолжаются до тех пор, пока 3 последние итерации не будут совпадать с точностью до 6 знаков после запятой.

Метод Чебышева

Пусть – симметрическая, положительно определенная матрица. В явном методе Чебышева вместо итерационного процесса (2) используется следующий

, (4)

где – минимальное и максимальное собственные числа матрицы.

Метод Чебышева отличается от предыдущего метода тем, что число итерации задается в начале итерационного процесса. Особенностью метода Чебышева является то, что именно последняя n-я итерация считается верной. После выполнения всех итераций число n увеличивается, процедура повторяется.

Вычисления останавливаем, когда абсолютное значение между двумя последовательными повторениями становится не более чем

Задание.

Написать программы для решения системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева. Исходная система имеет вид:

,

где матрица

– искомый вектор-столбец.

Провести вычисления на ЭВМ.

Порядок выполнения.

1. Оценить и .

2. Вычислить для метода простых итераций и для метода Чебышева.

3. Написать подпрограмму для расчета невязки

4. Составить программу для метода простых итераций и провести вычисления с указанной точностью.

5. Составить программу для метода Чебышева и провести вычисления с указанной точностью.

Варианты.

Вариант	a	b	Вариант	a	b
1	1	1	16	4	1
2	1	2	17	4	2
3	1	3	18	4	3
4	1	4	19	4	4
5	1	5	20	4	5
6	2	1	21	5	1
7	2	2	22	5	2
8	2	3	23	5	3
9	2	4	24	5	4
10	2	5	25	5	5
11	3	1	26	0	1
12	3	2	27	0	2
13	3	3	28	0	3
14	3	4	29	0	4
15	3	5	30	0	5