
- •Глава 10. Описание токопереноса в полупроводниковых структурах. Макроскопическая система уравнений в линейно полевом приближении.
- •Временные и пространственные интервалы, характеризующие процесс переноса носителей заряда в полупроводниках.
- •Время релаксации импульса и энергии. Длина свободного пробега, длина «разогрева».
- •Время релаксации заряда. Дифференциальное время релаксации заряда.
- •Плазменная частота, длина Дебая.
- •Время жизни неосновных носителей, диффузионная длина.
- •10.2. Макроскопическая система уравнений полупроводниковой электроники
Время жизни неосновных носителей, диффузионная длина.
В
процессе движения зарядов в полупроводниках
происходят релаксационные процессы,
связанные с генерацией и рекомбинацией
зарядов. Для того чтобы приборы работали
в микроволновом диапазоне, необходимо
выполнить условие
во
временной области и
в пространственной.
Практические
измерения времени жизни носителей
заряда в полупроводниках показали
величину
.
Пространственный интервал, связанный
с этой величиной называется диффузионной
длиной
и рассчитывается с помощью следующего
соотношения:
,
где
-коэффициент
диффузии.
Подстановка
реальных значений для
и
показывает, что условия в пространственной
и во временной области
выполняются.
10.2. Макроскопическая система уравнений полупроводниковой электроники
Усиление и генерация электромагнитных колебаний полупроводниковыми приборами СВЧ осуществляется за счет взаимодействия носителей заряда, движущихся в объеме полупроводника, с высокочастотным электромагнитным полем. Как было показано в гл.1 для математического описания этого взаимодействия используют систему, состоящую из уравнения Больцмана и уравнений Максвелла. В практически важных случаях не требуется уравнений на основе , отличающие степенью строгости. В данном рассмотрении используется мдетализация процессов токопереноса и для анализа бывает достаточно макроскопических параметров системы. В этих случаях уравнения (1.22-1.24) могут быть сведены к более простым уравнениям переноса:
; (10.12)
; (10.13)
;
(10.14)
. (10.15)
Уравнения (10.14) и (10.15) называются уравнениями непрерывности. К этой системе необходимо добавить уравнение Пуассона:
(10.16)
и выражение для плотности полного тока:
.
(10.17)
В
этих уравнениях
и
- концентрации;
и
- подвижности;
и
- коэффициенты диффузии;
и
- плотности токов;
и
- скорости генерации - рекомбинации
электронов и дырок соответственно;
- эффективная концентрация легирующей
примеси (
и
- концентрации доноров и акцепторов);
- напряженность электрического поля;
- плотность тока;
- заряд электрона;
- диэлектрическая проницаемость
полупроводника.
Область применимости системы уравнений (10.12-10.17) ограничивается приближениями, которые были сделаны при ее выводе. К ним относятся:
1.
Предположение о непрерывности функций
и
,
что не позволяет рассматривать процессы
в областях, размеры которых меньше
дебаевского радиуса экранирования
(длины Дебая). Это обстоятельство
затрудняет анализ процессов в областях
с малой протяженностью и с низкой
концентрацией носителей заряда (например,
в базовой области микроволнового -
транзистора).
2.
При выводе принято т.н. локальное
приближение, когда скорость носителей
определяется полем в данной точке.
Другими словами, скорость определяется
приложенной силой в данной точке. Однако,
для изменения скорости под действием
силы требуется время. Характерным
масштабом изменения скорости будет
время порядка времени релаксации по
импульсу
.
(см. разд.10.1.1). Стационарное значение
скорости установится за время релаксации
энергии
.
В связи с этим рассматриваемая система
уравнений плохо описывает процессы в
полупроводнике на частотах свыше
.
3. В уравнениях (10.12-10.13) не учитываются как внешнее магнитное поле, так и собственное магнитное поле токов, протекающих в полупроводнике. Это исключает из рассмотрения целый ряд физических явлений, которые, однако, не играют существенной роли в рассматриваемых полупроводниковых приборах.
Свойства системы уравнений (10.12-10.17) определяются входящими в нее величинами, характеризующими среду. Рассмотрим эти величины более подробно. Подвижности электронов и дырок устанавливают связь между напряженностью электрического поля и дрейфовой скоростью носителей:
.
(10.18)
В
таких материалах, как Ge,
Si,
GaAs,
подвижности являются скалярными
величинами, зависящими от напряженности
электрического поля
,
концентрации примеси
и температуры
.
У этой зависимости наблюдается насыщение
дрейфовой скорости в полях выше
(рис.10.9), связанное с рассеянием носителей
заряда на оптических фононах. Скорость
насыщения
в большинстве материалов близка к
.
Рис. 10.9. Зависимость дрейфовой скорости носителей заряда от напряженности электрического поля для кремния.
Для
некоторых материалов, таких, как GaAs,
InP
и т.п., зависимость скорости электронов
от напряженности поля имеет вид,
показанный на рис.10.10. Кроме того, при
не слишком больших температурах имеет
место участок с отрицательной
дифференциальной подвижностью (ОДП)
,
возникающей за счет междолинных переходов
электронов. Заметим, что у дырок ОДП не
наблюдается.
Рис.10.10.
Зависимость дрейфовой скорости электронов
от напряженности электрического поля
для арсенида галлия при
и
при двух значениях малосигнальной
подвижности
.
Коэффициенты
диффузии
также зависят от параметров среды. Они
связаны с подвижностями известным
соотношением Эйнштейна в условиях
термодинамического равновесия:
, (10.19)
где
- эффективная температура носителей,
определяемая их средней кинетической
энергией
.
В сильных полях температура носителей
может существенно отличаться от
температуры решетки
.
Скорость
генерации - рекомбинации
определяется как число пар носителей,
возникших (исчезнувших) в единице объема
полупроводника за единицу времени.
Генерация и рекомбинация в полупроводнике
могут происходить по различным причинам.
Важнейшие из них - тепловая генерация
и рекомбинация на рекомбинационных
центрах. Для случая, когда рекомбинационный
центр имеет один энергетический уровень,
скорость тепловой генерации - рекомбинации
определяется формулой
,
(10.20)
где
- собственная концентрация носителей
заряда;
,
- энергетический уровень рекомбинационного
центра;
и
- времена захвата электронов и дырок.
Наряду с тепловой генерацией в
полупроводниковых приборах важную роль
играет генерация носителей за счет
ударной ионизации. Введем коэффициенты
ударной ионизации для электронов
и дырок
,
численно равные числу пар носителей,
образованных электроном (дыркой) на
пути единичной длины. Определим скорость
генерации за счет ударной ионизации:
.(10.21)
Зависимость коэффициентов ионизации от напряженности электрического поля выражается формулой
,
(10.22)
где
величины
и
определяются сортом носителей и
материалом полупроводника. В большинстве
полупроводников ударная ионизация
становится заметной в полях, превышающих
.
Таким образом, система уравнений (10.12-10.17) является нелинейной, что весьма затрудняет ее решение в случае достаточно сильных электрических полей.
Для
решения этой системы уравнений необходимо
знать начальные и граничные условия
для концентрации подвижных носителей,
плотностей токов и поля. В качестве
начальных обычно задаются условия
термодинамического равновесия
,
,
(для полупроводников
- типа),
,
где
- заданное поле в момент времени
.
Тип граничных условий определяется
свойствами границ образца. Так, на
границе полупроводник - диэлектрик
выполняются условия:
где
- нормальные и касательные к поверхности
раздела составляющие напряженности
электрического поля и тока в полупроводнике
и диэлектрике;
- диэлектрическая проницаемость
диэлектрика;
- поверхностный заряд;
- нормальная составляющая плотности
тока;
и
- скорости поверхностной рекомбинации
и генерации.
На
границе полупроводник-металл имеет
место термодинамическое равновесие
.
Обычно задается также разность потенциалов
между выводами прибора или ток через
прибор
,
где
- площадь контактных поверхностей.