2. Время релаксации заряда. Дифференциальное время релаксации заряда.

Работа любого электронного прибора связана с созданием избытка зарядов в некотором пространстве, по сравнению с равновесным состоянием. Естественно, за счет сил электрического взаимодействия будет происходить изменение такой зарядовой неоднородности. Найти характерное время релаксации заряда можно с помощью уравнений Максвелла. Часто это время и называют максвелловским временем релаксации заряда. Предположим, что рассматривается некоторая среда с проводимостью и диэлектрической проницаемостью , в которою помещен заряд с объемной плотностью . Определим характер изменения во времени этого заряда. Запишем два уравнения Максвелла, достаточные для решения этой задачи:

Для нахождения уравнения для применим оператор дивергенции к правой и левой части (10.3) и подставим (10.4). Учитывая выражение получим:

, (10.5)

откуда , (10.6)

г де (10.7)

- время максвелловской релаксации, - заряд в момент времени . Выражение (10.6) свидетельствует о релаксации заряда по экспоненциальному закону с постоянной времени (рис. 10.2).

Рис.10.2. Релаксация заряда.

Такая ожидаемая и естественная реакция среды на избыточный заряд в некоторой области существенно усложняется, если к образцу приложено не только малое переменное воздействие, но и достаточно большое статическое («греющее») электрическое поле. В этом случае меняются кинетические коэффициенты токопереноса, а соответственно и релаксация избыточного заряда. На рис.10.3 показана характерная поле-скоростная характеристика с выделением трех областей, где меняется дифференциальная подвижность носителей . Первая область – область слабых полей ,где , вторая область , где и третья область , где .

Рис. 10.3. К объяснению дифференциальной подвижности носителей заряда.

Повторяя предыдущий вывод с учетом сделанных замечаний из уравнения (10.5) получим:

, (10.8)

где - амплитуда зарядовой неоднородности, -дифференциальная проводимость. Тогда по аналогии с (10.7) введем понятие дифференциального максвелловского времени релаксации:

(10.9).

Тогда (10.6) перепишется в виде , где -амплитуда зарядовой неоднородности в начальный момент. Отсюда следует: амплитуда зарядовой неоднородности может уменьшаться ( ), оставаться постоянной ( ) или даже увеличиваться ( ). Правильность такого вывода подтверждается существованием такого удивительного физического как эффект Ганна. На рис. 10.4 показаны возможные варианты изменения амплитуды зарядовой неоднородности.

Рис.10.4. Изменение амплитуды зарядовой неоднородности при различных параметрах среды.

Наряду с временем релаксации вводят понятие частоты максвелловской релаксации:

3. Плазменная частота, длина Дебая.

Сложность анализа взаимодействий частиц в плазме заставляет использовать энергетический подход к анализу этих процессов. На примере плазменных колебаний продемонстрируем плодотворность такого подхода.

В полупроводниках в состоянии термодинамического равновесия с температурой одновременно существуют свободные подвижные заряды (электроны или дырки), а также неподвижные заряды (ионизированные доноры и акцепторы). При этом в среднем выполняется условие электронейтральности: . Понятно, что это условие нарушается, если рассматриваемый объем «мал». Кроме того, условие электронейтральности может нарушаться, т.к. подвижные носители меняют свое местоположение случайным образом из-за наличия у них тепловой энергии. При этом возникают кулоновские силы со стороны неподвижных зарядов, которые возвращают подвижные носители к положению равновесия.

Рис. 10.5 Плазменные колебания

Подвижные носители, возвращаясь по инерции проскакивают мимо положения равновесия, и процесс приобретает колебательный характер, называемый плазменными колебаниями. Определим характерные параметры такого колебательного процесса, т.е. период плазменных колебаний и характерную пространственную амплитуду (размах) колебаний.

Для этого обычно используется уравнение Ньютона и уравнение Пуассона. Однако в рамках данного рассмотрения найдем эти величины из сравнения энергии частицы, выраженной в терминах классической механики, термодинамики и электродинамики. Естественно предположить, что средняя энергия частицы определенная по термодинамическим соотношениям должна быть равна кинетической энергии частицы и энергии, определенной по законам электродинамики, т.е. или:

, (10.8)

где -среднеквадратичная тепловая скорость, - характерный тепловой потенциал. Определим пространственное распределение этого теплового потенциала при разделении доноров и электронов на некоторое расстояние , используя уравнение Пуассона для одномерного случая:

.

Считая уровень легирования не меняющимся по координате, т.е. , получим или

.

Максимальное расстояние, на которое сместиться электрон обозначим . Возникшую за счет разделения зарядов разность потенциалов на этом расстоянии обозначим . Тогда:

.

Заменяя в данном выражении величину через энергию согласно (10.8) получим:

(10.9)

Определим период плазменных колебаний, используя соотношение и выражение (10.8), получим:

(10.10).

На практике часто используется понятие плазменной частоты :

(10.11).

Проведенный анализ позволяет заключить, что относительно среднего положения равновесия заряды периодически (с характерным временем ) смещаются на расстояние порядка . Такое смещение приводит к локальному нарушению электронейтральности. Естественно, если в качестве объекта выбрать объем больший чем , то электронейтральность в среднем будет выполняться. Учитывая это обстоятельство, мы не можем говорить о резких границах в распределении зарядов в полупроводниках. Граница может быть определена с точностью порядка . Ее часто называют пространственным масштабом разделения зарядов. Важно отметить зависимость данного параметра от температуры носителей и концентрации легирующей примеси. Воздействие внешнего электрического поля приводит к увеличению энергии подвижных носителей заряда и соответственно к увеличению . Этот факт необходимо учитывать при рассмотрении физики токопереноса в полевом транзисторе, особенно в режимах близких к запиранию прибора (см. главу 16). Приведем характерные значения для рассматриваемых величин и представим их графически на рис.10.6.

Рис. 10.6. Зависимость длины Дебая от уровня легирования при температуре носителей 100К, 300К, 1000К и 10000К в арсениде галлия.

На рис. 10.6 представлена зависимость длины Дебая в диапазоне уровней легирования, характерных для активной области типовых полупроводниковых приборов, а именно 5*10²¹-5*10²⁴ [м-3]. Получаемые значения искомой величины имеют порядок 0.01-0.1мкм, что соизмеримо с характерным размером токового канала в полевых транзисторах (0.1-0.2 мкм), даже при слабом разогреве носителей. При увеличении «греющих» полей невозможно пренебрегать «размытием» границ канала, даже с точки зрения объяснения физических принципов действия прибора, в частности процесса перекрытия канала в стоковой области. На рис.10.7 представлена типовая форма токового канала полевого транзистора и характер ее изменения с учетом разогрева носителей. Важно отметить увеличение к стоковому концу затвора и соизмеримость ее с толщиной активной области . Если рассчитать плазменную частоту колебаний, то она будет при тех же условиях . Это означает, что плазменные колебания происходят с большей частотой, чем типичное микроволновое воздействие с частотой .

Рис. 10.7. Форма токового канала в ПТШ с учетом дебаевского «размытия».

В вакуумных приборах также используется понятие плазменная частота в части учета сил пространственного заряда. В электронном потоке возможно возникновение продольных колебаний с некоторой характерной частотой. Процессом, приводящим к смещению носителей относительно некоторого положения равновесия, может быть модуляция скорости за счет внешнего воздействия. В гл. 5 этот параметр определялся так: . Если сравнить это выражение с выражением (10.11), то видна полная аналогия, если принять . Однако, надо заметить, что в вакуумном случае мы имеем продольные колебания за счет кулоновских сил взаимодействия одноименных зарядов. Поэтому здесь не вполне корректно говорить о плазме. В полупроводниках колебания возникают за счет сил между разноименными зарядами, а начальное смещение зарядов возникает за счет наличия тепловых скоростей. В этом случае используют понятие - твердотельная плазма.

Какова же практическая целесообразность введения этого параметра в вакуумном случае? Для ответа на этот вопрос оценим величину «плазменной» частоты и соответствующих размах колебаний потока для типовых значений тока прибора , ускоряющего напряжения и диаметра потока . На рис.10.8 представлены расчетные концентрации электронов в потоке с параметрами: , для трех значений диаметра потока .

Рис.10.8. Концентрация электронов в потоке типового вакуумного прибора для трех значений диаметра потока.

Сравнивая значения концентрации носителей заряда в вакуумном приборе с характерным уровнем легирования в полупроводниковом приборе , видим различие почти в 6-порядков. Возможность получения высокой плотности электронов в полупроводниковой плазме связана с компенсирующим действием положительного заряда доноров: полупроводник квазинейтрален.

Отметим, что расчет плазменной частоты в вакуумном случае дает величину порядка , что соответствует центру микроволнового диапазона. При этом характерное расстояние между пучностями продольных колебаний будет:

,

где -скорость дрейфа электронов при прохождении разности потенциалов . Подставляя полученные характерные значения для всех величин получим . Это сравнимо с характерными физическими размерами вакуумного прибора. Проведенный анализ показывает важность учета «плазменных» колебаний в этих приборах, как во временной, так и в пространственной области.