Питання 3. Дискретні випадкові величини, поняття про закон розподілу дискретної випадкової величини. Числові характеристики випадкових величин. Методичні рекомендації:

Нехай Ω – простір елементарних подій деякого стохастичного експерименту. Будь-яку функцію , , всі значення якої є дійсними числами, називають випадковою величиною.

Означення: Величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого можливого значення з певною ймовірністю.

Можна сказати і так: випадковою величиною х називається функція , визначена в просторі елементарних подій Ω і така, що для визначена ймовірність події .

Означення: Дискретною називається випадкова величина х, яка приймає окремі ізольовані можливі значення з визначеними ймовірностями, тобто величина для якої існує скінченна або злічена множина значень таких, що .

Інше означення:

Означення: Випадкова величина називається дискретною, якщо її значення можна записати у вигляді послідовності (скінченної або нескінченної).

Випадкову величину позначають великими латинськими літерами, а їх значення малими літерами.

Якщо випадкова величина Х набуває значень з відповідними ймовірностями , то говорять, що задано закон розподілу ймовірностей випадкової величини.

Закон розподілу випадкової величини зручно записувати у вигляді таблиці:

Х	х1	х2	...	хn
Р	р1	Р2	...	pn

В даній таблиці , . Враховуючи те, що в одному випробування випадкова величина приймає одне і тільки одне можливе значення, робимо висновок, що події утворюють повну групу несумісних подій і відповідно сума ймовірностей цих подій рівна одиниці: , (1).

Формула (1) - це умова нормування для дискретної випадкової величини.

Закон розподілу ймовірностей можна унаочнити графічно. Для цього на осі відкладають , на – . Точки з координатами послідовно сполучають. Утворену фігуру називають імовірнісним многокутником.

Закон розподілу можна подати як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(х) або так звану інтегральну функцію.

Означення: Функцію аргументу х, що визначає ймовірність в події Х < х , називається функцією розподілу ймовірностей: .

Властивості функції розподілу:

1) Для : .

2) Функція F(x) є не спадною: якщо , то .

3) Ймовірність того, що випадкова величина Х набуде можливого значення , дорівнює різниці між значеннями функції розподілу F(х) в правому і лівому кінцях проміжку:

.

Числові характеристики випадкових величин – це параметри, що характеризують їх істотні ознаки.

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.

Означення: Математичним сподіванням випадкової величини , визначеною на дискретному просторі , називається величина

.

Якщо – обмежена множина, то

.

Властивості математичного сподівання:

1. Математичне сподівання від сталої величини дорівнює самій сталій:

2. 

3. Якщо і є сталими величинами, то

.

Математичне сподівання не дає достатньо інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень. Тому інколи математичне сподівання називають ще центром розсіювання Тому для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Означення: Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини

.

Для дискретної випадкової величини дисперсія

.

Властивості дисперсії:

1. Якщо – стала величина, то .

2. .

3. Якщо і є сталими величинами, то

.

Дисперсію можна обчислювати, користуючись такою формулою:

.

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.

Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.

Означення: Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називають корінь квадратний із дисперсії:

.