Запитання для самоперевірки:

1. Що називається первісною для функції?

2. Що таке невизначений інтеграл?

3. Які властивості невизначеного інтеграла ви знаєте?

4. Які основні методи інтегрування ви знаєте? В чому полягає їх суть?

5. Як інтегруються раціональні дроби?

6. Сформулюйте умови інтегровності функцій.

7. Запишіть формулу Ньютона-Лейбніца.

8. Який геометричний зміст невизначеного і визначеного інтеграла?

Завдання для виконання

Завдання 4. Знайти невизначені і визначені інтеграли:

1. а) б) ;

2. а) б) ;

3. а) б) ;

4. а) б) ;

5. а) б) ;

6. а) б) ;

7. а) б) ;

8. а) б) ;

9. а) б) ;

10. а) б) .

Питання 4. Економічний зміст визначеного інтеграла

Методичні рекомендації:

Нехай і – функції відповідно витрат, доходу та прибутку, які залежать від кількості виробленої продукції або від часу її виробництва, а – функції маргінальних витрат, доходу та прибутку відповідно.

Тоді зміни вказаних величин при зростанні виробництва продукції від одиниць до обчислюють за формулами

.

Нехай і – загальні витрати, дохід та прибуток, що змінюються з часом. Тоді

або .

Максимум загального прибутку буде тоді, коли . Іншими словами, існує такий час , коли швидкість зміни доходу та витрат рівні. Максимум прибутку і одержується на проміжку .

Якщо функція дорівнює прибутку за час , а – номінальна облікова щорічна ставка, то реальне значення загального прибутку за час між та становить .

Якщо – продуктивність праці в момент часу , то обсяг випущеної продукції за проміжок часу становить

Дана формула виражає економічний зміст інтеграла.

Запитання для самоперевірки:

1. Який економічний зміст інтеграла?

2. Як обчислюються зміни витрат, доходу та прибутку за певний період часу?

3. У якому випадку можна досягти максимуму загального прибутку деякого підприємства?

Завдання для виконання:

Завдання 5.

1. Швидкості зміни витрат та доходу підприємства після початку його діяльності визначаються відповідно функціями і , де вимірюються у млн. грн., а час у роках. Визначити, як довго підприємство буде прибутковим та знайти загальний прибуток за цей час.

2. Визначити яку кількість продукції виготовлено за 8 год., якщо продуктивність праці протягом робочого дня визначається функцією ( – час у годинах).

3. Нехай функція маргінальних витрат виробництва за певний час має вигляд . Визначити зростання витрат виробництва (у гривнях) при збільшенні випуску продукції від 50 до 60 одиниць.

4. Швидкості зміни витрат та доходу підприємства після початку його діяльності визначаються відповідно функціями і , де вимірюються у млн. грн., а час у роках. Визначити, як довго підприємство буде прибутковим та знайти загальний прибуток за цей час.

5. Відомо, що швидкість зміни прибутку підприємства після початку його діяльності виражається функцією (млн. грн.). визначити, як довго підприємство буде прибутковим і знайти загальний прибуток за цей час.

6. Компанія повинна вибрати одну із двох можливих стратегій розвитку:

1) вкласти 5 млн. грн у нове обладнання і отримувати 2 млн. грн. щорічного прибутку протягом 10 років;

2) закупити на 10 млн. грн. досконаліше обладнання, що дасть змогу одержувати 3 млн. грн. щорічного прибутку протягом 8 років. Яку стратегію слід вибрати компанії, якщо номінальна облікова щорічна ставка становить 10%?

7. Швидкості зміни витрат та доходу підприємства після початку його діяльності визначаються відповідно функціями і , де вимірюються у млн. грн., а час у роках. Визначити, як довго підприємство буде прибутковим та знайти загальний прибуток за цей час.

Питання 5. Диференціальні рівняння

Означення: Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (1)

яке пов’язує незалежну змінну, невідому функцію та її похідну .

Рівняння (1) може не містити , але воно обов’язково містить похідну шуканої функції. Якщо диференціальне рівняння розв’язати відносно похідної, то дістанемо рівняння виду

, (2).

Рівняння (2) – диференціальне рівняння першого порядку, розв’язане відносно похідної, або рівняння в нормальній формі. Рівняння (2) можна записати і так: .

Приклади диференціальних рівнянь: .

Означення: Розв’язком диференціального рівняння на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (2) перетворює його в тотожність відносно на , тобто для будь-якого .

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння. Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається його інтегруванням.

Щоб не плутати інтегрування диференціального рівняння з операцією знаходження невизначеного інтеграла, останню називають квадратурою. Якщо диференціальне рівняння має розв’язок, то воно має нескінченну множину розв’язків.

Означення: Функція , яка задовольняє диференціальне рівняння першого порядку і містить деяку сталу , називають загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку.

Загальному розв’язку диференціального рівняння відповідає множина всіх інтегральних кривих диференціального рівняння. Але на практиці іноді доводиться шукати не всі розв’язки, а тільки той, який задовольняє певні додаткові умови.

Теорема Коші (про існування і єдиність розв’язку): Нехай функція і її частинна похідна визначені і неперервні у відкритій області G площини і точка G. Тоді існує єдиний розв’язок рівняння (2), який задовольняє умову

при , тобто , (3).

Ця теорема дає достатні умови існування єдиного розв’язку рівняння (2). Умову (3), згідно з якою розв’язок набуває наперед заданого значення в заданій точці , називають початковою умовою розв’язку і записують так: або , (4).

Задача знаходження розв’язку рівняння (2), який задовольняє початкову умову (4), називається задачею Коші.

Розв’язок диференціального рівняння, в кожній точці якого порушується умова єдиності, називають особливим розв’язком.

Геометрично теорема Коші стверджує, що через кожну точку G проходить єдина інтегральна крива. Якщо зафіксувати і змінювати , не виходячи при цьому з області G, то діставатимемо різні інтегральні криві. Окрема інтегральна крива відповідає частинному розв’язку диференціального рівняння.

Означення: Функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні сталої називається частинним розв’язком рівняння (2).

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено у неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння Ф , то такий розв’язок називається загальним інтегралом диференціального рівняння. Рівність Ф у цьому випадку називається частинним інтегралом рівняння.

Рівняння з відокремлюваними змінними

Означення: Рівняння виду

, (1)

де і – задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Права частина рівняння (1) являє собою добуток двох множників, кожен з яких є функцією лише однієї змінної. Щоб розв’язати рівняння (1), треба відокремити змінні. Для цього замінимо на , поділимо обидві частини рівняння (1) на (вважаємо, що ) і помножимо на , тоді рівняння (1) запишеться у вигляді , (2).

Диференціальне рівняння виду (2), в якому множник при є функцією, яка залежить лише від , а множник при є функцією, яка залежить лише від , називається диференціальними рівняннями з відокремленими змінними.

Оскільки рівняння (2) містить тотожно рівні диференціали, то відповідні невизначені інтеграли відрізняються між собою на сталу величину, тобто

.

Таким чином, рівняння (1)розв’язано в квадратурах.

Диференціальне рівняння (2) є окремим випадком рівняння виду

, (3).

Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на функцію .

Зауважимо, що при діленні обох частин рівняння (1) на можна загубити деякі розв’язки. Дійсно, якщо , то стала є розв’язком рівняння (1), оскільки перетворює це рівняння в тотожність. Цей розв’язок може бути як частинним, так і особливим.

Аналогічне зауваження стосується коренів функцій та у рівнянні (3).

Приклад 1. Розв’язати диференціальне рівняння: .

Розв’язування:

Відповідь: .

Диференціальні рівняння другого порядку

Означення: Диференціальним рівнянням другого порядку називається співвідношення, яке пов’язує між собою незалежну змінну , шукану функцію та її похідні першого і другого порядків.

, (1)

або

, (2).

Рівняння (2) називається диференціальним рівнянням другого порядку, розв’язаним відносно старшої похідної.

Означення: Загальним розв’язком диференціальним рівнянням другого порядку називається функція , (3), яка задовольняє рівняння (1) чи (2) і містить дві довільні сталі.

Означення: Загальний розв’язок, який подано у неявному вигляді Ф( )=0 (4) називається загальним інтегралом диференціального рівняння другого порядку.

Означення: Окремим розв’язком диференціального рівняння другого порядку називається розв’язок, який одержуємо із загального при фіксованих значеннях довільних сталих.

Задача Коші для диференціального рівняння другого порядку формулюється так: знайти розв’язок диференціального рівняння другого порядку, який задовольняє початкові умови:

(5)

Числа , які визначають шуканий окремий розв’язок, знаходять із системи рівнянь

, (6)

Диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Означення: Рівняння виду , (1), де – сталі, називається однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Розв’язок такого рівняння шукаємо у вигляді

, (2)

де – деяке невизначене стале число. Знайшовши похідні

і підставивши їх разом з функцією у рівняння (1), одержимо:

Функція (2) є розв’язком диференціального рівняння (1) тоді і тільки тоді, коли , (16) , тобто , (3).

Рівняння (3) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (1), а многочлен – характеристичним многочленом диференціального рівняння (1).

Характеристичне рівняння (3) є квадратним відносно невідомого числа . Тому при знаходженні коренів можливі три випадки:

1) , .

Диференціальне рівняння (1) має два різні розв’язки:

, (4).

Утворимо функцію , (6), де – будь-які сталі.

Теорема 1 Якщо для диференціального рівняння (1) справджується умова , то функція , де – корені характеристичного рівняння (3) є загальним розв’язком лінійного однорідного диференціального рівняння (1).

2). Числа і є комплексними ( ).

Тоді розв’язки диференціального рівняння запишуться у вигляді

3). , . Тоді диференціальне рівняння (1) має розв’язок . Можна довести, що розв’язком диференціального рівняння (1) також буде функція .

Теорема: Якщо для диференціального рівняння справджується умова , то загальним розв’язком цього рівняння є функція

Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Означення: Рівняння виду , (1)

де і – сталі числа, називається неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Теорема: Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1)дорівнює сумі якого-небудь окремого розв’язку цього рівняння і загального розв’язку однорідного рівняння .

Окремий розв’язок диференціального рівняння (1) у деяких випадках можна знаходити за виглядом функції , не вдаючись до інтегрування, методом невизначених коефіцієнтів. Розглянемо ці випадки:

1. .

   1. Якщо число 0 не є коренем характеристичного однорідного диференціального рівняння, то . Невідомі коефіцієнти знаходять шляхом підстановки розв’язку у диференціальне рівняння (1) і прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях у правій і лівій частинах рівняння.

   2. Якщо число 0 є коренем характеристичного однорідного диференціального рівняння, то .