Запитання для самоперевірки:

1. Що називається похідною функції?

2. Яка функція називається диференційованою в точці, на відрізку?

3. Який зв’язок між диференційовністю і неперервністю функції?

4. Чому дорівнює похідна суми, різниці, добутку і частки двох функцій?

5. В чому полягає економічний зміст похідної?

6. Що називається еластичністю функції?

7. Що таке маргінальні витрати, маргінальні доходи, маргінальний прибуток?

Завдання для виконання:

Завдання 1. Знайти похідну та диференціал першого порядку функції однієї змінної:

1. ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) ; г) .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. а) ; б) ; в) ; г) .

7. а) ; б) ; в) ; г) .

8. а) ; б) ; в) ; г) .

9. а) ; б) ; в) ; г) .

10. а) ; б) ; в) ; г) .

Завдання 2. Розв’язати задачу з економічним змістом, використовуючи похідну:

1. Обсяг продукції, виробленої бригадою робітників, описується функцією (одиниць), , де – робочий час у годинах. Визначити продуктивність праці , темп її зміни та еластичність через годину після початку роботи та за годину до її закінчення. Пояснити економічний зміст одержаних результатів.

2. Відомо, що роздрібна вартість одного виробувизначається функцією , де – кількість виготовлених виробів. Дохід від виробництва виробів (загальна вартість продукції) становить (грн.) визначити маргінальний дохід від виробництва 200 виробів.

3. Нехай функція виражає витрати підприємства на виробництво одиниць продукції (у грн.). Знайти маргінальні витрати виробництва та обчислити їхнє значення при випуску 300 одиниць продукції.

4. Залежність між собівартістю продукції та обсягом її виробництва виражається формулою . Визначити еластичність собівартості при випуску 20 одиниць продукції.

5. Визначити маргінальний прибуток при випуску 5 одиниць продукції, якщо функція доходу , а функція витрат ( ).

6. Знайти маргінальний дохід підприємства, якщо кількість виготовлених та проданих виробів та роздрібна вартість кожного виробу зв’язані рівністю .

7. Залежність прибутку від обсягу виробленої продукції (кг) виражається функцією . Оцінити відносну похибку обчислення прибутку при виробництві 10 кг продукції з точністю до 1%.

8. Дано функцію середніх витрат і функцію попиту . Розрахувати за якого обсягу виробництва прибуток буде найбільший.

9. Знайти маргінальний дохід підприємства, якщо кількість виготовлених і проданих виробів та роздрібна вартість кожного виробу зв’язані рівністю .

10. Функція витрат підприємства має вигляд (тисяч грн.). Знайти маргінальну вартість при .

Питання 2. Теореми про середнє. Застосування похідних до дослідження динаміки функцій.