Запитання для самоперевірки:

1. Що називається лінійною нерівністю з двома змінними?

2. Що є розв’язком лінійної нерівності з двома змінними?

3. Яка півплощина називається замкненою, відкритою півплощиною?

4. Що є розв’язком системи лінійних нерівностей з двома змінними?

5. Яка функція називається цільовою функцією?

6. Які властивості лінійної функції в задачах лінійного програмування?

7. Як можна знайти найбільше (найменше) значення функції на деякому многокутнику?

8. Як розв’язати задачу лінійного програмування графічним методом?

Завдання для виконання:

Завдання 2. Розв’язати графічно задачу лінійного програмування, записати її розв’язок та обчислити значення цільової функції:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Питання 3. Симплекс-метод.

Методичні рекомендації:

Вважають, що задачу лінійного програмування (ЗЛП)записано в канонічній формі, якщо вона має такий вигляд:

де - задані сталі величини; і . Будь-яку задачу можна звести до канонічної форми. Розглянемо як це робиться.

Якщо в задачі лінійного програмування треба знайти мінімум лінійної форми, то, враховуючи, що , задача зводиться до пошуку максимуму лінійної форми .

Якщо частина або всі обмеження системи лінійних нерівностей мають знаки ≤, то для зведення задачі лінійного програмування до канонічного вигляду необхідно у систему ввести додаткові невід’ємні змінні :

Якщо частина або всі обмеження системи лінійних нерівностей мають знаки ≥ , то для зведення задачі лінійного програмування до канонічного вигляду необхідно в систему ввести додаткові невід’ємні змінні :

Якщо на змінні не накладається умова невід’ємності, то для зведення ЗЛП до канонічної форми треба зробити заміну де , .

Одним з ефективних методів розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод, який добре піддається програмуванню на ЕОМ, уможливлює довільну розмірність задач, тобто не залежить ні від кількості невідомих, ні від числа і вигляду обмежень.

Означення: Розв’язок системи обмежень, у якому вільні нвідомі дорівнюють нулю, називають базисним планом.

Означення: Будь-який невід’ємний розв’язок системи обмежень ЗЛП називають допустимим планом.

Допустимий базисний план називається опорним. Для того, щоб базисний план системи обмежень був опорним, необхідно і достатньо, щоб усі вільні члени були невід’ємні.

Допустимий план системи обмежень, що надає функції найбільшого (найменшого) значення називається оптимальним.

Алгебраїчний спосіб розв’язування задачі лінійного програмування – це симплекс-метод. В симплекс – методі можна виділити наступні етапи розв’язку:

• перетворення обмежень – нерівностей в рівності;

• вибір першого допустимого плану;

• перевірку оптимальності плану;

• перепланування (перетворення симплекс-таблиць).

Охарактеризуємо кожний етап.

Перетворення обмежень-нерівностей в рівності здійснюють шляхом введення нових змінних, які треба додати до лівої частини, щоб нерівності перетворились в рівності. Всі невідомі в задачах лінійного програмування можуть приймати тільки додатні чи нульові значення (вихідні дані х невід’ємні по змісту економічних задач, а додаткові змінні по накладених умовах).

Основне правило розв’язку симплекс-методу передбачає поділ всіх змінних на основні (додатні) і неосновні (нульові). Кожний наступний поділ змінних на основні і неосновні геометрично означає, що в якості нового допустимого плану розглядається одна з сусідніх вершин многокутника. Розглянуті перетворення системи обмежень з перебором різних варіантів здійснюють у вигляді перетворення таблиць. Кожна наступна симплексна таблиця відображає наступний допустимий план.

Правило перевірки оптимальності розвיязку заключаються в перевірці знаків елементів останнього рядка: якщо всі вони невід’ємні, то план оптимальний, якщо ж ні, то слід здійснити перепланування.

Для проведення перепланування слід вибрати ключовий рядок і стовпець.

Правило вибору ключового стовпця: за ключовий ми беремо стовпець з найбільшим по модулю від’ємним елементом в цільовому рядку. Правило вибору основного рядка: знаходимо найменше відношення вільних членів до відповідних додатних елементів ключового стовпця. За вибраним, таким чином, основним елементом виконуємо крок жорданового виключення (якщо основний елемент відмінний від 1, то ділимо ключовий рядок на його значення, щоб легше було проводити жорданове виключення.).

Процес повторюється до знаходження оптимального розв’язку.

Алгоритм застосування симплекс-методу:

1. Запис ЗЛП в стандартній формі так, щоб цільова функція максимізувалась і усі знаки були ≤.

2. Зведення системи до канонічного вигляду способом введення додаткових змінних.

3. Запис цільової функції у вигляді .

4. Запис задачі у вигляді розширеної симплекс-таблиці.

5. Визначення базисних змінних.

6. Виконання послідовності симплекс –перетворень.

Приклад 1: Знайти найбільше значення функції при заданій системі обмежень:

Розв’язування:

базис	Х	А1	А2	А3	А4	А5
X3	18	2	3	1	0	0
X4	35	5	7	0	1	0
X5	15	3	5	0	0	1
z	0	-7	-5	0	0	0
А3	8	0		1	0
А4	10	0		0	1
А1	5	1		0	0
z	35	0		0	0

, , .

Відповідь: .