Запитання для самоперевірки:

1. Що називається матрицею?

2. Яка матриця називається квадратною, прямокутною?

3. Де розміщена головна діагональ матриці?

4. Яка матриця називається трикутною?

5. Яка матриця називається діагональною?

6. Яка матриця називається одиничною, нульовою?

7. Яка матриця називається симетричною, кососиметричною?

8. Що називається визначником матриці?

9. Що називається транспонуванням матриці?

10. Які матриці називаються рівними?

11. Яка матриця називається оберненою до даної?

12. Який алгоритм знаходження оберненої матриці?

Завдання для виконання:

Завдання 4. Знайти суму, різницю та добуток матриць:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Завдання 5. Знайти матрицю, обернену до даної:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. 

Завдання 6. Знайти ранг матриці , якщо :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

Питання 4. Системи лінійних рівнянь та їх розв’язування.

Методичні рекомендації:

Означення: Системою т лінійних рівнянь з п невідомими називається система виду

. (1)

Числа , і=1,2,...,т; j=1,2,...,п біля невідомих називаються коефіцієнтами, а числа - вільними членами системи (1).

Означення: Система рівнянь (1) називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.

Означення: Упорядкований набір п чисел ( ) називається розв’язком системи (1), якщо при підстановці цих чисел замість невідомих усі рівняння системи перетворюються в тотожності.

Означення: Система рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Означення: Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має більш ніж один розв’язок.

Означення: Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв’язків.

Еквівалентні системи дістають, зокрема, внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають елементарним перетворенням матриці за умови, що вони виконуються лише над рядками матриці.

Розглянемо способи розв’язування системи лінійних рівнянь, у якої кількість рівнянь співпадає з кількістю невідомих, тобто систему

(2).

Визначник

(3)

називається визначником системи (2).

Введемо в розгляд визначники

; ; ... ; , (4)

Визначники (4) утворені з визначника (3) заміною відповідних стовпців стовпцем вільних членів системи (2).

Теорема 3: Якщо визначник системи (2) відмінний від нуля, то система сумісна і має розв’язок, що визначається за формулами

, , ..., , (5)

в яких числа є визначниками (4).

При розв’язуванні системи рівнянь (2) можуть бути такі випадки:

1. , тоді система (2) має єдиний розв’язок: , , ..., ,

2. або , або …, або ,тоді система не має розв’язків, тобто є несумісною.

3. , тоді система зводиться до одного рівняння і має безліч розв’язків, тобто є невизначеною.

Розглянемо як розв’язується система лінійних рівнянь методом оберненої матриці.

Введемо в розгляд матриці:

; ; .

Матрицю А, складену з коефіцієнтів системи (2), називають матрицею або основною матрицею системи, матрицю Х – матрицею з невідомих, а матрицю В – матрицею з вільних членів. Тоді згідно з правило множення матриць систему (2) можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею Х:

(6)

Припустимо, що матриця А системи (2) має обернену матрицю ; помножимо обидві частини рівності (6) на зліва:

(7)

Отже, щоб розв’язати систему рівнянь (2), достатньо знайти матрицю, обернену до матриці системи, і помножити її зліва на матрицю з вільних членів.

Формулу (7) називають матричним записом розв’язку системи (2) або розв’язком матричного рівняння (6).

Існує ще один спосіб розв’язування системи лінійних рівнянь – метод Гаусса, який інакше ще називають методом послідовного виключення невідомих. Даний метод ґрунтується на елементарних перетвореннях системи лінійних рівнянь. Розглядається система рівнянь (1), яка зводиться до трапецієвидної форми виду:

(8)

Дослідимо цю систему:

1. Якщо система містить рівняння виду і , то вона очевидно несумісна.

2. Нехай система (8) не містить рівнянь виду ( ). Назвемо невідомі основними, а всі інші, якщо вони є вільними. Основних невідомих за означенням . Надаючи вільним невідомим довільні значення і підставляючи ці значення в рівняння системи, з - го рівняння знайдемо . Підставивши це значення в перші рівняння і, піднімаючись вгору по системі, знайдемо всі основні невідомі. Оскільки вільні невідомі можуть набувати будь-яких значень, то система має безліч розв’язків.

3. Нехай в системі (8) . Тоді вільних невідомих немає, тобто всі невідомі основні і система має так званий трикутний вигляд:

З останнього рівняння знайдемо і, піднявшись по системі вгору, знайдемо всі інші невідомі. Отже, в цьому випадку система має єдиний розв’язок.