7. Бчх коды

Коды Боуза – Чоудхури – Хоквингема (БЧХ коды) являются разновидностью циклических кодов. Основной проблемой их формирования является выбор порождающего полинома.

Выбор полинома производится по заданному кодовому расстоянию (по заданной корректирующей способности кода) и длине кодовой комбинации.

Длину кодовой комбинации для БЧХ кода определяют из выражения

,

где m - любое целое число.

Таким образом, длина БЧХ кода может быть равна 3; 7; 15; 31; 63; 127 и т. д.

Число проверочных разрядов кода определяется из выражения

.

Тогда число информационных разрядов равно

.

Образующий полином кода БЧХ является наименьшим общим кратным (НОК) так называемых минимальных полиномов m_i (х), где i = 1, 3, 5, … . Порядок порождающего полинома G(x) = = НОК{m₁(х), m₃(х), m₅(х),…, m _{d min – 2} (х)}. Вычисленные значения минимальных полиномов для степеней m = 2 … 10 приведены в табл. 4.

Таблица 4

Порядок полинома	Минимальные полиномы при величине степени m
	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	7	13	23	45	103	211	435	1021	2011
3	-	-	37	75	127	217	567	1131	2017
5	-	-	07	67	147	235	763	1461	2415
7	-	-	-	-	111	367	551	1231	3771
9	-	-	-	-	015	277	675	1423	2257
11	-	-	-	-	155	325	747	1055	2065
13	-	-	-	-	-	203	453	1167	2157
15	-	-	-	-	-	-	727	1541	2653
17	-	-	-	-	-	-	023	1333	3515
19	-	-	-	-	-	313	545	1605	2773
21	-	-	-	-	007	345	613	1027	3753
23	-	-	-	-	-	-	543	1751	2033
25	-	-	-	-	-	-	433	1743	2443
27	-	-	-	-	-	-	477	1617	3573
29	-	-	-	-	-	-	-	1553	2461

Продолжение

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
31	-	-	-	-	-	-	-	-	3043
33	-	-	-	-	-	-	-	-	0075
35	-	-	-	-	-	-	-	1401	3023
37	-	-	-	-	-	-	537	1157	3543
39	-	-	-	-	-	-	-	1715	2107
41	-	-	-	-	-	-	-	1563	2745
43	-	-	-	-	-	-	703	1713	2431
45	-	-	-	-	-	-	471	1175	3061
47	-	-	-	-	-	-	-	-	3177
49	-	-	-	-	-	-	-	-	3525

Значения m_i (х) приведены в табл. 4 в восьмеричной системе счисления. Так, например, полином 13-го порядка для степени m = 9, записанный в таблице числом 1167, представляет следующую двоичную последовательность:

1 1 6 7

001 001 110 111

а многочлен этого полинома записывается как х⁹ + х⁶ + х⁵ + х⁴ + + х² + х¹ + 1.

Для нахождения образующего полинома кода длиной

с кодовым расстоянием d_min необходимо выписать из таблицы все значения минимальных полиномов, соответствующих заданному m, до порядка d_min – 2 включительно. Если данный порядок отсутствует, следует взять ближайший меньший порядок.

Пример. Пусть необходимо построить код длиной n = 15 с d_min = 7.

Определяем по формулам степень полинома: m = 4.

Общий вид образующего полинома G(x) = m₁(х)· m₃(х)· m₅(х).

Из таблицы находим:

m₁(х) = 23, или 10011 → х⁴ + х¹ + 1; m₃(х) = 37, или 11111 → х⁴ + х³ + х² + х¹ + 1; m₅(х) = 07, или 111 → х² + х¹ + 1.

Умножив полученные полиномы, получаем образующий полином БЧХ кода:

G(x) = х¹⁰+ х⁸ + х⁵ + х⁴ + х² + х¹ + 1; G(x) = 10100110111.

Путем построения производящей матрицы несложно убедиться, что данный БЧХ код действительно имеет кодовое расстояние, равное семи.

Все БЧХ коды имеют нечетные значения кодовых расстояний. При необходимости кодовое расстояние можно увеличить на единицу, если умножить образующий полином на двучлен (х - 1):

G(x) =( х¹⁰+ х⁸ + х⁵ + х⁴ + х² + х¹ + 1)·(х – 1);

G(x) =( х¹¹ + х¹⁰+ х⁹ + х⁸ + х⁶ + х⁴ + х³ + 1);

G(x) = 111101011001.

Такой способ увеличения кодового расстояния применим к любым систематическим кодам с нечетным кодовым расстоянием. Для этого в циклических кодах изменяется образующий полином, а в других кодах вводится обобщенная проверка на четность.

Коды БЧХ имеют следующие закономерности:

1. Число кодов, различающихся по своей корректирующей способности и имеющих общую длину кодовой комбинации , на две единицы меньше всех неприводимых многочленов, на которые разлагается двучлен .

2. Между максимальным кодовым расстоянием и числом m существует зависимость

.

3. Число информационных разрядов, которое может быть использовано при заданном числе m и максимальном кодовом расстоянии, определяется как m + 1.

Задачи

1. Порождающая матрица линейного кода (7, 4) имеет вид

.

Сформировать проверочную матрицу Н_7,3.

2. Проверочная матрица линейного кода (7, 4) имеет вид

.

Записать систему проверочных уравнений.

3. Используя проверочную матрицу (задача 2), закодировать сообщения 0110 и 1001.

4. Принята комбинация линейного кода (7, 4) 1011001, проверочная матрица которого представлена в задаче 2. Определить, имеет ли место ошибка в принятой комбинации, и указать ее место.

5. Используя порождающую матрицу линейного кода (7, 4) (зада- ча 1), закодировать сообщение 1101.

6. Проверочная матрица мажоритарного кода имеет вид

.

Составить систему уравнений для проверки символа b₃.

5. Принята кодовая комбинация 1 1 1 1 0 0 1 циклического кода (7, 4). Образующий полином имеет вид: . Проверить кодовую комбинацию на наличие ошибок. Найти и устранить ошибки.

6. Закодировать сообщение А(х) = 1 01 0 циклическим кодом (7, 4), образующий полином имеет вид .

7. Выбрать порождающий полином для БЧХ кода с длиной кодовой комбинации n = 31, кодовым расстоянием, равным 9.

Контрольные вопросы

1. Какие коды называются блочными линейными?

2. Поясните сущность помехоустойчивого кодирования.

3. Какое условие должно быть выполнено для применения помехоустойчивого кодирования сообщений в канале связи?

4. Как оценивается степень различия кодовых комбинаций?

5. Что называется кодовым расстоянием кода?

6. Сколько ошибок может обнаружить код с одной проверкой на четность?

7. Сколько ошибок может обнаружить код с обобщенной проверкой на четность, если его кодовое расстояние равно 4?

8. Определите назначение порождающей матрицы линейного блочного кода.

9. Для чего используется проверочная матрица линейного блочного кода?

10. Что в декодере понимается под проверочным синдромом?

11. Может ли декодер определить ошибку приема проверочного символа?

12. Перечислите основные свойства циклического кода.

13. Какой порядок должен иметь образующий полином, чтобы кодовое расстояние циклического кода было равно 4?

14. Как выбирается образующий полином?

15. Что называется синдромом при выполнении операции декодирования циклического кода?

16. Перечислите особенности БЧХ кодов.

17. Поясните правила построения БЧХ кода.

18. Для чего в каналах связи применяются БЧХ коды?

19. Перечислите основные модификации блочных (в том числе циклических) кодов.

20. Как производится расширение кодового слова?