2.11 Метод классического вариационного исчисления

Метод классического вариационного исчисления может применяться в 2 вариантах:

1)на основании целевой функции и уравнения ограничения находится оптимальный закон изменения координат объекта.используя другие методы синтеза (метод модального управления) синтезируется управляющее устройство,обеспечивающее оптимальный закон изменения координат объекта.

2)на остновании целеывой функции сразу определяем оптимальное управление.

Пусть функция имеет следующий вид: (37)

Оптимальный закон изменения x(t) находим из уравнения Эйлера:

Целевая функция может зависеть не только от первой производной, но и производной более высшего порядка.

Тогда оптимальный закон находится из уравнения Эйлера-Пуассона

На практике нахождение оптимального закона изменения координаты объекта без учёта ограничений ,наклад. на координаты, не имеет физического смысла.

Например: разгон двигателя =

Уравнение ограничения имеет вид: 0(39)

В этом случае составляется уравнение Лагранжа:

Где неопределенный множитель Лагранжа

В это случае уравнение Эйлера будет иметь вид:

На практике уравнение ограничения часто носит интегральный характер:

Такая задача называется изопереметрической Уравнение ограничений (41) легко сводится к уравнению органичений (39)

Продиффиринцировать (41), получим (39) Методика решения задачи не отличается от того, какой вид имеет уравнение ((39) или(41))

Пример Оптимальное управление разгонным электроприводом

Задача разогнать ЭД от V₁ доV₂

Возможны 3 варианта постоения задачи

1. При ограничениях на потери необходимо разогнать ЭД до максимальной возможной скорости

i(t)=? ω(t)=?

2. Необходимо разогнать ЭД до заданного значения скорости при минимальных потерях i(t)=? ω(t)=?

3. Необходимо разогнать ЭД до заданного значения скорости при ограничениях на потери за минимальное время

, i(t)=? ω(t)=?

Все три варианта постановки задачи оптимизируют уравнения е являющееся противоречивыми, то есть при решении задачи по всем трем вариантам получим одни и те же значения уравнений i(t) и ω(t)

В дальнейшем будем рассматривать только первый вариант

К уравнениям (42) (43) нельзя сразу применить уравнения Лагранжа, так как в целевой функции (ЦФ) и в уравнении ограничений входят различные переменные (ток и скорость) Поэтому для решения задачи необзодимо ток выразить через скорость или наоборот. Для этого выполняется основное уравнении для электропривода

Если , то он не является оптимальным значением изменения ω(t), то есть его можно не учитывать.

Уравнение ограничений записывается в следующем виде

Уравнение ЭЛ ; ;

; ; ; ;

То есть оптимально знаком изменяя скорости для разложенного ЭП является линейным законом, а так в процессе пуска const

Можно определить из следующего уравнения (потери)

; ;

Меньше потери при изменении по закону 2

Чем быстрее зап-ем тем больше нагрев