Напряженное состояние и устойчивость анизотропных пород в вертикальных и наклонных скважинах

1. Рассмотрим прежде всего случай, когда вертикальная сква­жина пройдена в упругом трансверсально-изотропном горном массиве, плоскость изотропии которого составляет угол с дневной поверхностью (рис. 64). Все остальные предпосылки разд. 4.2 сохраняем без изменения.

Рис. 64. Схема взаимного расположения оси скважины и плоскости изотропии

1 – скважина, 2 – пласт

Выберем вспомогательную и основную системы координат, как показано на рис. 64. В системе координат обобщенный закон Гука для трансверсально-изотропного тела записывается в форме (4.16). В системе координат повернутой на угол вокруг оси , согласно формулам преобразования [19] закон Гука (4.16) видоизменится, принимая общий вид, где отличными от нуля коэффициентами преобразования являются

где и - модули упругости и коэффициенты Пуассона, отнесенные к плоскости изотропии и направлению, перпендикулярному к ней.

Так как для нетронутого массива напряжения и перемещения не зависят от координат х и у, то из уравнений равновесия (4.37), соотношений Коши (4.40) и закона Гука имеем

(4.70)

где и - коэффициенты бокового горного давления, .

Напряженное состояние в приствольной зоне скважины определим, как в разд. 4.2, суммой (в безразмерном виде )

, (4.71)

где дополнительные напряжения должны удовлетворять однородной системе уравнений равновесия (4.37) и согласно (4.70) и (4.71) — граничным условиям:

у поверхности скважины

(4.72)

и для удаленных от скважины точек при , где - полярный угол в плоскости ху; ; .

Здесь показано условие, при котором нормаль к стенке скважины направлена к оси по радиусу.

Компоненты деформации связанные с напряжениями законом Гука, должны удовлетворять условиям совместимости (4.39). Следовательно, относительно дополнительных напряжений имеем пространственную задачу теории упругости для невесомого анизотропного полупространства с цилиндрической полостью.

Уравнения равновесия (4.37) будут удовлетворены, если ком­поненты напряжений выразить через две функции F(x, у) и в следующем виде:

(4.73)

При этом тождественно выполняются четыре условия совмести­мости деформации (4.39), а оставшиеся два сводятся к системе дифференциальных уравнений относительно функций F и :

(4.74)

где - дифференциальные операторы 2-го, 3-го и 4-го порядков;

Используя зависимости (4.73) в граничных условиях (4.72), получим, что при функции F и должны удовлетворять условиям

Следовательно, пространственная задача свелась к определе­нию функций напряжения F(x, у) и в плоскости нормаль­ного сечения ху.

Подобные задачи изучены С. Г. Лехницким [19], который выразил функции F и через три аналитические функции комп­лексных переменных

где Re – реальная часть комплексного выражения;

- несопряженные комплексные (или чисто мнимые) числа, являющиеся корнями характеристического уравнения

.

При этом система уравнений (4.74) выполняется тождественно и искомые функции определяются только граничными условиями

при и при . Эти условия будут выполнены, если выбрать решение в виде

где

В этом легко убедиться, если иметь ввиду, что при .

Окончательное решение задачи удобно представить в цилиндри­ческой системе координат, используя формулы преобразования (1.34):

(4.75)

где для п = 1, 2 и . Распределение напряжений на стенке скважины определяется по формулам (4.75) при .

Следует отметить, что сведения о трех механических парамет­рах горного массива — коэффициентах Пуассона v, v' и отношении модулей Юнга — являются достаточными для реализации рассматриваемой задачи в напряжениях.

В пределе, когда v = v' и , фо формулы (4.75) преобразуются в формулы для изотропного упругого массива (4.50).

При горизонтальном расположении плоскостей напластования вид напряжений у поверхности скважины аналогичен напряжениям для изотропного массива:

,

где - приведенный коэффициент бокового горного давления.

В этом случае интенсивность напряжений и среднее давление соответственно равны [см. формулы (4.51) и (4.52)]:

где и .

Для большинства горных пород и , т.е. . Поэтому из сравнения с формулами (4,51) и (4.52) следует, что при и упругая анизотропия горных пород приводит к росту величины при и к снижению при , где

Среднее давление при этом увеличивается.

Как показали расчеты, выполненные по формулам (4.75) для , увеличение угла напластования приводит к неравномерному полю напряжений в приствольной зоне скважины, незначительно­му снижению интенсивности напряжений при и более значительному росту ее при . Среднее давление при этом убывает.

Рис. 65. Зависимость приведенной интенсивности напряжений от q при :

1, 2 – соответственно при и , 3 – для изотропной породы при

На рис. 65 показан пример зависимости от q и для анизотропной горной породы. Там же для сравнения показана за­висимость при (изотропная порода). При этом величины средних давлений при , при и при .

Если горная порода обладает только упругой анизотропией, но не прочностной, то, используя критерий прочности (4.17'), получим при необходимое условие устойчивости стенки скважины, аналогичное условию (4.53):

, (4.53`)

где

Допустимый диапазон изменения величины q, определяемый этим условием, шире, чем по условию (4.53), в основном за счет правостороннего ограничения.

При допустимый диапазон для q сужается, оставаясь, тем не менее, шире, чем по условию (4.53). Следовательно, если нет точ­ных сведений о параметрах анизотропии, то, выбрав решение с помощью критерия (4.53), будем иметь некоторый запас прочности.

Для горных пород, у которых величина , с запасом прочности принимается условие (4.53') независимо от угла напластования.

Для обеспечения длительной устойчивости в условии (4.55) необходимо параметры и , заменить на и соответственно.

2. Полученные решения (4.75) легко обобщить на случай наклонно направленной скважины (или интервала), ось которой составляет произвольный угол с вертикалью [29].

Если направить ось oz основной системы координат xyz вдоль оси скважины и обозначить через угол между этой осью и нормалью к плоскости изотропии, то в расчетные формулы (4.75) достаточно ввести следующие изменения:

а) вместо постоянных и надо принять

где

б) в напряжения и дополнить соответственно слагаемыми и ;

в) в формулах для определения констант вместо надо принять .

Если горная порода обладает явно выраженной анизотропией прочностных свойств, то для кратковременной устойчивости необ­ходимо воспользоваться критерием прочности более общего вида.

Например, приняв в (4.17) предположение, подобное принятым в разд. 4.5, т. е. , , получим

, (4.76)

где

;

;

;

,

, и приведенные к напряжения, определяемые по вышеприведенным формулам при .

В частном случае для вертикальной скважины, пройденной в анизотропном горном массиве с горизонтальной плоскостью изотропии, получим обобщение в виде

,

где .

При отсутствии сведений о параметрах анизотропии горных пород, достаточно использовать формулы для изотропной модели, что обеспечит некоторый запас прочности и устойчивости стенки скважины.

Лекция 8. § Течения горных пород и пластовых флюидов