Диффузия примесных атомов в полупроводник

Процесс диффузии представляет собой обусловленное тепловым движением перемещение атомов в направлении убывания их концентрации. Таким образом, движущей силой диффузии является градиент концентрации атомов. Диффузионный ток определяется следующим выражением

G_диф.= - D·grad N(х,t), (1)

где G_диф.- поток диффундирующего вещества (см^-2 с^-1) ; D – коэффициент диффузии (см²/с) имеющий смысл скорости выравнивания градиента концентрации. N(х,t) - концентрация атомов примеси (см^-3).

Приведенное соотношение (4.1) является первым законом Фика. Второй закон Фика выражает скорость накопления вещества

. (2)

Диффузия примесей в полупроводник является базовым технологическим процессом и широко применяется при изготовлении диффузионных p/n-переходов.

Рассмотрим пример получения диффузионного p/n-перехода.

На подложку Si – p, легированного индием до концентрации 10¹⁹ см^-3 падает поток атомов фосфора. Коэффициент диффузии фосфора в кремний при T = 800ºС составляет D = 6,5 ·10^-12 см²/с.

С практической точки зрения важно знать глубину залегания p/n-перехода, которая, в частности, определяется временем диффузии.

При условии поддержания постоянной поверхностной концентрации имеем случай диффузии из "неограниченного источника" в "полуограниченное тело". Т.е. считаем, что толщина слоя диффузии много меньше толщины кристаллической подложки. Начальное и граничное условия, необходимые для нахо-

ждения частного решения уравнения (4.2) для данного случая имеют вид: N(0,t) = N₀, N(х,0) = 0. Решение второго уравнения Фика (4.2) имеет вид

N(x,t) = N₀ erfc , (3)

где t – время диффузии, N₀ - постоянная концентрация примеси на поверхности полупроводника, см^-3; erfc(z) = 1- erf (z) дополнительная функция ошибок. Дополнительная функция ошибок и сама функция ошибок табулированы и приведены в таблице 2 приложения, z = x/ 2(Dt)^1/2.

erf (z) = .

Рассчитанный профиль концентрации при t_диф = 15 минут при N₀ = 10²¹ cм^-3, Dt = 58,5·10^-10 см², 2 = 1,29 см приведен в следующей таблице

х, мкм		erfc	N(x,t), см-3
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0	0,0 0,65 1,3 1,96 2,61 3,25	1,0 0,36 0,065 0,0071 0,00023 0,0000454	1·1021 0,36 ·1021 6,5·1019 7,1·1018 2,3·1017 4,5·1016

Чтобы определить глубину залегания p/n-перехода, надо решить уравнение N_А = N_D, где N_A – концентрация индия. Т.е. для нашего случая уравнение будет таким

10¹⁹ = 10²¹erfc . (4)

Решив это уравнение относительно Х , получим его значение равное 1,047 мкм.

Рассмотренный пример диффузии из бесконечного источника обычно является первой стадией диффузии – загонкой. Загонка обычно проводится при высокой температуре, когда коэффициент диффузии и растворимость максимальны. Вторая стадия диффузии – разгонка проводится при более низкой температуре, при которой собственно и формируется окончательный диффузионный профиль. Разгонка проводится при окисленной поверхности полупроводника, что позволяет считать, что процесс диффузии идет в полуограниченном теле с отражающей границей из источника с ограниченным количеством примеси Q₀.

Способ двухступенчатой диффузии из источника с ограниченным количеством примеси осуществляют следующим образом: в тонком приповерхностном слое полупроводниковой пластины создают избыточную концентрацию примеси с помощью загонки из бесконечного источника, затем поверхность пластины покрывают материалом со значительно меньшим, чем у полупроводника, коэффициентом диффузии, например окислом, и подвергают нагреву, во время которого происходит диффузия примеси вглубь пластины (разгонка), а на поверхности пластины поток примеси практически равен нулю

j_диф(0,t) = - D ·(dn/dx) = 0. (5)

Начальные условия для распределения примеси имеют вид N(x,0) = N_s в интервале 0 ≤ х ≤ d, N(x,0) = 0, если х > d, d - толщина слоя источника.

Количество атомов фосфора в подложке после загонки определяется следующим выражением:

, (S, см²) (6)

Подставляя (4.3) в (4.5), получим

j_диф(0,t) = N_{0 .} (7)

Интегрируя полученное выражение по времени, найдем

Q = S (Ат) . (8)

Подставляя численные значения величин получим

Q = .

Определим глубину залегания диффузионного p/n-перехода после разгонки, которая производится в течение 20, 30 и 40 минут при Т = 1000º С.

Коэффициент диффузии существенно зависит от температуры. Чем выше температура, тем больше кинетическая энергия атомов примеси и скорость их движения через кристаллическую решетку. Эта зависимость выражается уравнением Аррениуса

D = D₀ exp , (9)

Е_А – энергия активации, эВ, k- постоянная Больцмана, эВ/К.

Определим коэффициент диффузии для фосфора при Т = 1000ºС = 1273ºК.

D_р = 6,5 ·10^-12 ехр ≈ 6,5·10^-12 см²/с.

Начальные условия для распределения примеси при разгонке имеют вид N(x,0) = N₀ в интервале 0 ≤ х ≤ d, N(x,0) = 0, если х > d, d - толщина слоя источника. Решение уравнения (4.2) при данных начальных условиях имеет следующий вид:

N(x,t) = . (10)

Выражение (4.10) представляет собой функцию распределения Гаусса и показывает распределение концентрации примеси в зависимости от координаты "х" и времени t.

Глубину залегания р/n-перехода, как и в случае загонки, определяем из уравнения

N₀ = N(х,t) . (11)

Решая это уравнение , найдем х = 9,96 мкм.

Построим профиль концентрации N(х,t) для 0 ≤ Х ≤ 5 мкм при t = 10, 20, 30, 40 мин. Распределение концентрации строим согласно функции распределения Гаусса (4.10), где общее количество атомов Q найдено по формуле (4.8). Коэффициент диффузии равен 6,5·10^-12 см²/с. Результаты вычислений приведены в следующей таблице.

t, с	Q, Ат	, см	, см-1	4Dt, см
600 1200 1800 2400	70,5·1015 99,7·1015 122·1015 141,1015	11,07·10-5 15,54·10-5 19,10·10-5 22,20·10-5	6,97·1020 6,38·1020 6,37·1020 6,35·1020	156·10-10 312·10-10 458·10-10 824·10-10

Значения концентраций N(x,t) (в см^-3) для времени диффузии (разгонки) t = 10, 20, 30 и 40 мин. рассчитанные по формуле (4.1) приведены в следующей таблице.

х, t, мкм мин	1,0	2,0	3,0	4,0	5.0
10 20 30 40	3,24· ·1020 4,7 ·1020 5,09 ·1020 5,4 ·1020	0,49· · 1020 1,6 ·1020 2,67 ·1020 3,24 ·1020	0,021· · 1020 0,20 ·1020 0,89 ·1020 1,46 ·1020	0,26· · 1020 0,038 ·1020 0,21 ·1020 0,43 ·1020	0,63· · 1014 0,19 ·1018 0,029 ·1020 0,07 ·1020

На рис. 3.7 представлены графики профиля концентрации, построенные по данным таблицы. Как видно из полученных кривых, на поверхности полупроводниковой пластины концентрация примеси остается постоянной. Очевидно, что при конечной толщине пластины и при t→∞ концентрация по всей толщине будет приближаться к N₀. Чем толще пластина, тем большее время диффузии для этого понадобится. Стандартная толщина кремниевой пластины составляет обычно 0,4 мм.

Глубина залегания перехода определяется после разгонки примеси при температуре ниже загонки. Вследствие этого имеется возможность точного расположения перехода на расстоянии от поверхности пластины.

Коэффициенты диффузии примесей определяются из соответствующих таблиц, приведенных в литературе 3.

N(x,t)

10

1

0 1 2 мкм 3 4

Рис. 3.7. Зависимость концентрации фосфора от расстояния от поверхности пластины для t_диф= 10, 20, 30 и 40 минут