4. Логика нечетких множеств и отношений

Часто нужно принимать решение при неполном описании объектов или связей между ними. Например, такие понятия, как "большое входное сопротивление осциллографа", "малое напряжение на базе транзистора", "постоян­ное число оборотов двигателя" дают лишь качественную оценку атрибутов объектов или такие высказывания, как "судно стоит у причала", "самолет находится в аэропорту", "рыбопродукция загружена в дефростер" дают лишь качественное описание связей между объектами, такие суждения, как "если идет дождь, то закрыть все люки", "если продукты вывезены из Африки, то направить их на карантин", "если температура тела 40⁰С, то человек болен" дают качественное описание логики принятия решений.

Задачи качественного описания возникают при проектировании больших систем, распознавании образов, принятии реше­ний в управлении и т.п. Впервые эту проблему поднял Заде в работах [11] и [12].

Неполное описа­ние элемента или ситуации не позволяет оценить меру их принадлежности к определенному классу объектов и с уверенностью дать оценку правильности принимаемого решения.

Для решения подобного класса задач разработана нечеткая логика (fuzzi logic), объектом исследования ко­торой являются нечеткие множества (fuzzi set), нечеткие отношения (fuzzi relation), нечеткие алгебраические операции и нечеткое исчисление (fuzzi calculus).

Наиболее полное описание проблем и методов решения задач нечеткой логики изложены в [5].

4.1 Нечеткие множества

Пусть дано произвольное множество U. Назовем его базовым множеством.

Если на этом множестве задать нечетко некоторое подмноджество X’, то степень принадлежности любого элемента uU множеству X’ может быть оценена с помощью функции принадлежности: _x’(u): U  [0;1].

Функция принадлежности – это некоторое субъективное измерение нечеткой принадлежности элемента заданному множеству и это измерение отличается от вероятностной меры. Под субъективной мерой, как правило, понимается степень принадлежности элемента u_i нечеткому множеству X’, определенная опросом одного или нескольких экспертов. Вероятностная мера, по закону больших чисел, подразумевает знание аналитических зависимостей этой принадлежности.

Значение функции принадлежит замкнутому интервалу [0;1]. Для каждого конкретного элемента uU величина _x(u) принимает конкретное значение на этом интервале. Это значение функции и называют степенью принадлежности элемента uU нечеткому множеству X’.

Нечеткое множество X’ записывают так:

X’={_x’(u₁)/u₁, _x’(u₂)/u₂,... _x’(u_n)/u_n}, где u_iU, _x’(u_n)[0;1],

где _x’(u_i) –значение функции принадлежности элемента базового множества u_iU нечеткому множеству X’, или степень принадлежности.

Носителем нечеткого множества X’ является “четкое” подмножество X={u₁, u₂,...u_n}U. Носитель нечеткого множества содержит только те элементы U, для которых значение функции принадлежности больше нуля.

Если для некоторого u_iU имеем _x’(u_i)=1, то элемент “четко” принадлежит множеству X’.

Если все элементы носителя X имеют значение _x’(u_i)=1, то задано “четкое” подмножество множества U, т.е. XU.

Если для некоторого u_iU имеем _x’(u_i)=0, то элемент “четко” не принадлежит множеству X’.

Если все элементы носителя X имеют значение _x’(u_i)=0, то задано “четкое” пустое множество, т. е. X’=.

Пример. Пусть дано 10 шаров. Множество всех подмножеств множества шаров содержит пустое множество, одно-, двух- трех- и т.д. до десятиэлементного подмножества Пусть множество этих подмножеств есть область определения функции принадлежности, т.е. U={, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Необходимо оценить степень принадлежности любого из этих подмножеств нечеткому множеству, заданному понятием “несколько шаров”.

Для подмножеств, содержащих нуль, один, два, половину или все шары, эксперт определил значение функции принадлежности понятию “несколько шаров” равным нулю, так как можно было бы сказать конкретно: “взять половину шаров”, “взять два шара” и т.п.. Для подмножеств, содержащих три, восемь или девять шаров, эксперт определил значение функции принадлежности равным 0, 6, а для подмножеств, содержащих четыре, шесть или семь шаров, - равным 0, 8.

Следовательно, эксперт выполнил поставленную задачу так:

X’={0,6/3; 0,8/4; 0/5; 0,8/6; 0,8/7; 0,6/8; 0,6/9}

Носителем этого нечеткого подмножестваX’ являетсяX={3, 4, 6, 7, 8, 9}.

Такова была субъективная мера степени принадлежности каждого подмножества универсального множества нечеткому подмножеству “несколько шаров”.

Пример.Пусть дано множество легковых автомашин, изготавливаемых в РоссииU={“волга”, “жигули”, “москвич”}. Определить их принадлежность классу “хорошая машина”.

Эксперт выполнил эту задачу так:

X’={0,6/”волга”; 0,8/”жигули”; 0,4/”москвич”}.

Это – субъективная оценка эксперта.

Пример. Пусть дан электрический двигатель и эксперт должен отнести значения токов и скорости вращения работающего двигателя в четыре класса: X’₁("нулевой"), X’₂("малый"), X’₃(“средний") и X’₄(“большой"). Пусть величина тока изменяется в пределах от 0 до 21А (базовая шкала), скорость вращения двигателя – от 0 до 3150об/мин.(базовая шкала).

Так как понятия “нулевой”, “малый”, “средний”, “большой” не определены, то для эксперта заданными являются терм-множества:

T₁(“величина тока”)={“нулевая”, “малая”, “средняя”, “большая”};

T₂(“величина скорости вращения”)={“нулевая”, “малая”, “средняя”, “большая”},

где “нулевая”, “малая”, “средняя” и “большая” являются лингвистическими переменными.

Пусть эксперт весь диапазон изменения тока и скорости вращения двигателя разбил на восемь поддиапазонов и установил два уровня степени принадлежности классу “нулевой”, “малый”, “средний”, “большой”: 0,33 и 1,00.

Степень принадлежности, по мнению эксперта, величины тока классу “нулевой”, “малый”, “средний” или “большой” представлены таблицей.

Таблица 4.14

ток (А)	степень принадлежности
	“Нулевой”	“Малый”	“Средний”	"Большой”
0	1	0	0	0
3	0,33	0,33	0	0
6	0	1	0	0
9	0	0,33	0,33	0
12	0	0	1	0
15	0	0	0,33	0,33
16	0	0	0	1
21	0	0	0	1

В этом случае нечеткие множества предметной переменной описаны так:

X’₁₁ ("нулевой" ток) = {I/0; 0,33/3};

X’₁₂ ("малый" ток ) = {0,33/3; 1/6; 0,33/9};

X’₁₃ ("средний" ток) = {0,33/9; 1/12; 0,33/15};

X’₁₄ ("большой" ток) = {0,33/15; 1/18; 1/21}.

Степень принадлежности скоростей вращения двигателя классу “нулевая”, “малая”, “средняя” или “большая” представлена табл. 4.15.

Таблица 4.15

скорость (об/мин)	степень принадлежности
	“Нулевая”	”Малая”	“Средняя”	“Большая”
0	1	0	0	0
450	0,33	0,33	0	0
900	0	1	0	0
1350	0	0,33	0,33	0
1800	0	0	1	0
2250	0	0	0,33	0,33
2700	0	0	0	1
3150	0	О	0	1

В этом случае нечеткие множества предметной переменной описаны так:

X₂₁ ("нулевая" скорость вращения) = {I/0; 0,33/450};

X₂₂ ("малая"скорость вращения = {0,33/450; 1/900; 0,33/1350};

X₂₃ ("средняя" скорость вращения) = {0,33/1350; 1/1800; 0,33/2250};

X₂₄ ("большая"скорость вращения) = {0,33/2250; 1/2700; 1/3150}.

Для того, чтобы согласовывать мнения различных экспертов, удобно построить “гладкий” график функции принадлежности на базовой шкале области определения. Это позволит для каждого конкретного факта или события заданной области определения лучше оценивать принадлежность заданному классу. Построение “гладкой” функции по известному набору значений степени принадлежности в некоторых точках базовой шкалы, или на носителе нечеткого множества, требует использования классических методов аппроксимации. Так метод наименьших квадратов поз­воляет получить достаточно гладкую функцию  (u) , которая рав­номерно приближается в смысле среднего квадратического отклонения к заданному набору точек.

 (u)= _{i i =.1} ^m c_i _i (u),

где _i (u) –аппроксимирующие функции, а коэффициенты c_i определяются по условию _{ijj i =.1} ⁿ _ii=.1 ^m(c_i _i (u_j)-  (u_j))²min.

На рис. показана возможная “гладкая” функция, построенная по четырем элементам носителя нечеткого множества.

 (u₃)

 (u₂)

 (u₄)

 (u₁)

u₁ u₂ u₃ u₄

Рис. 4.1 Возможная “гладкая” функции принадлежности.