Дискретная математика

Добавил:

Fragga Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

по прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат.

7. Предполагая функцию f(x; y) непрерывной, найти предел

.pdf

Скачиваний:

246

Добавлен:

26.05.2014

Размер:

212.39 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

II СЕМЕСТР

ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ÄЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА КИБЕРНЕТИКИ

МОСКВА 2012

Составители: А.Г.Асланян, И.П.Драгилева, А.И.Сирота, И.А.Чегис, А.В.Шатина, А.Л.Шелепин

Редактор Ю.И.Худак

Контрольные задания являются типовыми расчетами по разделам математического анализа, вошедшим в программу II семестра I курса факультета кибернетики (неопределенный интеграл, определенный интеграл, векторный анализ), и основам дискретной математики. Типовой расчет выполняется студентами в письменном виде и сдается преподавателю до начала зачетной сессии. Вопросы к зачету или экзамену могут быть уточнены и дополнены лектором. При составлении контрольных заданий за основу были взяты типовые расчеты, разработанные коллективом кафедры высшей математики.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Рецензенты: И.А.Соловьев И.Г.Лебо

°c МИРЭА, 2012

Контрольные задания напечатаны в авторской редакции Подписано в печать .02.2012. Формат 60£84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,63. Усл.кр.-отт. 6,52. Уч.-изд.л. 1,75. Тираж 100 экз. C

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образованияМосковский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

119454, Москва, просп. Вернадского, 78

4. Показать, что функция

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

II семестр ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. Получить рекуррентную формулу для заданных интегралов.

Вычислить I0 è I1. По рекуррентной формуле найти

	1xne¡®2x2dx;					¼=2
à) In =	1xne¡®2x2dx;				á) In =		cosn x dx;
R0¼=2						0
R0¼=2		sin		x dx;	ã) In =	1R	px1 ¡ x2 :
â) In =	R0	sin	n	x dx;	ã) In =	R0	px1 ¡ x2 :
			n					n dx

2. Вывести формулу для дифференцирования функции

F (x) = vR(x)f (t) dt, ãäå u(x) 6 v(x).

u(x)

3. Показать, что для функции f(x; y) = x2y2=(x2y2 + (x + y)2) существуют оба повторных предела: при x ! 0, затем y ! 0, è ïðè y ! 0, затем x ! 0; но не существует предела, когда M (x; y) !

O (0; 0).

f(x; y) = 2xy=(x2 + y2); f (0; 0) = 0,

непрерывна по каждой переменной x è y в отдельности, но не яв-

ляется непрерывной по их совокупностиp.

5. Показать, что функция f(x; y) = 3 xy имеет обе частные про-

изводные в точке O(0; 0), но не дифференцируема в этой точке.

6. Вычислить двойной интеграл от функции f(x; y) = @2F =@x@y

x +y 6R

8. Предполагая функцию f(x; y) непрерывной, найти производ-

íóþ F 0(t) функции

F (t) =

f(x; y) dxdy (t > 0):

x2+y26t2

f(x) кубическим многочленом, про-

(xi; f(xi)).

[a; b]

на три равные части точками

f (x) dx; разбивая отрезок

Проверить результат на примере f(x; y) = x2 + y2.

9. Предполагая функцию f(x; y; z) непрерывной, найти предел

R!0	4¼R2	2 2ZZ2	2
lim	1		f(x; y; z) d¾:
lim			f(x; y; z) d¾:

x +y +z =R

Проверить результат на примере f(x; y; z) = x2 + y2 + z2 + 1.

10. Предполагая функцию f(x; y; z) непрерывной, найти предел

R!0 4¼R3		2	ZZZ2 2	2
lim	3			f(x; y; z) dxdydz:
lim				f(x; y; z) dxdydz:

x +y +z 6R

Проверить результат на примере f(x; y; z) = x2 + y2 + z2 + 1. 11. Найти производную F 0(t) функции

F (t) = 2	ZZZ2 2	2 f(x2 + y2 + z2) dxdydz:
x	+y +z	6t

Проверить результат на примере f(x; y; z) = x2 + y2 + z2.

12. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Доказать, что для

любого разбиения отрезка [a; b] точками x0 = a; x1; x2; :::; xn = b

можно так подобрать точки »i 2 [xi; xi+1]; чтобы соответствующая интегральная сумма в точности равнялась определенному интегралу от f(x) по отрезку [a; b].

13. Вывести формулу приближенного интегрирования для интеграла Rab

x0 = a; x1; x2; x3 = b и заменяя

ходящим через узловые точки

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

ЗАДАЧА 1. Найти неопределенный интеграл. По усмотрению преподавателя выполняется либо одно из заданий (а или б), либо оба задания.

arctg 2x

x4 + 2x ¡ 1

x2 (x ¡ 1) (x2 ¡ x + 1)

cos x + 1

x4 + 3x3 ¡ 19x2 + 29x ¡ 10

3 + 5 sin x

x(x ¡ 1)2(x2 ¡ 2x + 5)

16x2 + 10x + 8

x(p4

5px + 6p4 x )

x (x

2)2 (x2 + 2x + 2)

x2 ln x2 + 2x + 5 dx

¡x4 + 5x3 ¡ 7x2 + 11x ¡ 16

1)(x + 1)2(x2

4x + 5)

¡4

+ 8x

¡x

¡ 2x

+ 16x ¡ 1

ex (e2x + 2ex + 10)

(x + 1) (x ¡ 1)2 (x2 + 4x + 5)

arctg 2x

2x4 + 2x3 ¡ 7x2 ¡ 8x ¡ 6

x2 (x + 3) (x2 + x + 1)

cos x ¡ 1

3x4¡10x3¡48x+20

4 ¡ 5 sin x

(x+1)(x¡2)2(x2+2x+10)

x(p4 x3 + 6px ¡ 7p4 x )

(1 ¡ x)(x + 2)2(x2

+ 2x + 5) dx

2x3 + 16x2 + 29x + 25

ln x2

4x + 5 dx

x4 + 4x3

5x2 ¡ 6x + 3

¡x (x

1)2¡(x2 + x + 3)

+ 4x

+ 3x + 4

e3x ¡ 2e2x + 2ex

x2 (x ¡ 2) (x2 + x + 2)

arctg x dx

¡2x4 + 2x3 + 8x2 ¡ 6x + 6

¡ x2

(x + 1) (x ¡ 1)2 (x2 ¡ x + 2)

4 + 5 sin x

(x + 2) (x + 1)2 (x2

+ 2x + 6)

sin x

¡3x4

¡10x3¡13x2

+2x+18

¡2x4 ¡ 5x3 + x2 + 23x ¡ 49

x + 2px3 + p3 x4

(x ¡ 1) (x + 3)2 (x2 ¡ 2x + 2)

1) ln

x2+6x+10 dx

2x3+9x2¡33x+27¡x4

(x ¡ 1) (x ¡ 2)2 (x2 ¡ 2x + 3)

x4 ¡ x3 + 2x2 + 16

e3x ¡ 4e2x + 5ex

x2 (x + 2) (x2 ¡ 2x + 4)

x +

arctg 2x dx

4x4 ¡ 19x3 + 2x2 + 13x + 48

(x + 3) (x ¡ 3)2 (x2 + x + 2)

sin x

¡x4 + 3x3 + 5x2 ¡ 2x + 3

3 ¡ 5 sin x

(x + 3) (x + 1)2 (x2 + x + 3)

x5 ¡ 2x4 + 5x3 ¡ 12x2 + 6x ¡ 6

x ¡ 2px3 + p3 x4

(x ¡ 1)2 (x2 + x + 2)

ln 4x2 + 4x + 5

2x5+10x4¡21x3+31x2¡26x+8

2)2 (x2

x + 2)

¡2

+54x+17

+8x +29x

+56x

e3x + 4e2x + 5ex

(x + 2)2 (x2 + 2x + 3)

arctg 5x

¡x5 ¡ 2x4 + 13x2 + 23x + 14

(x + 1)2 (x2 + 2x + 4)

cos x + 2

2x5

3x4 + 4x3

6x2 + 5x + 2

¡ ¡

1 + 2 cos x

(x ¡ 1)2 (x2 + x + 2)

x(p4

2x5

+5x4+11x3+26x2+32x+8

¡2p

+5p4

)

(x + 1)2 (x2 ¡ x + 4)

x ln 4x2

4x+5

¡x5

+7x4¡22x3+46x2¡56x+36

2)2 (x2

2x + 3)

¡4

3 ¡

+17x

+20x

+52x +60x

ex (e2x ¡ 6ex + 10)

(x + 2)2 (x2 + 3x + 3)

x2 +

arctg x dx

¡3x5+8x4¡14x3+22x2¡16x+9

(x ¡ 1)2 (x2 ¡ x + 2)

cos x + 2

3x5

12x4

29x3+39x2+324x

+ 4x + 6)

3 ¡ 5 sin x

4)2 (x2

¡2x5+17x4¡57x3+110x2¡139x+91

p3 x2 ¡ 2p

+ 2p3

(x ¡ 3)2 (x2 ¡ 2x + 5)

x2 ln

¡2x+10 dx

x5 + 5x4 + 6x3 + 7x2 + 30x + 6

(x + 3)2 (x2 + x + 1)

2x5

+11x4¡2x3¡31x2+126x+40

ex (e2x + 6ex + 13)

(x + 4)2 (x2 ¡ 3x + 4)

ЗАДАЧА 2. Вычислить определенный интеграл. Выполняется

(по усмотрению преподавателя) либо задание а, либо задание б.

(x ¡ 1)

4 ¡ x

+ 2) 2x ¡ x

R1 x

3 + 2x ¡ x

R0 (2 + x ) 4x ¡ x

0 (x + 1)2 p6x ¡ x2 dx

(x2

4x + 8)5

x2 dx

x dx

(x2

2x + 2)5

(x2

6x + 10)5

¡2(2x + 1) q(4 ¡ x2)3 dx

1 (x¡1)4p

24¡x2+2x

¡2(x¡2)2p

0 x2q(4 ¡ x2)3 dx

12¡x2+4x

x2 dx

x dx

(x2

6x + 10)3

(x2 + 2x + 2)5

¡1

x2 + 1

¼=4q

2 + sin2 x + 6 sin x cos x

+ 4x + 8)

¡2 q

¼=4

+ 2x ¡ 3 dx

3 cos2 x + 2 sin x cos x + 1

(x + 1)4

x2 ¡ 4x ¡ 5

x2 ¡ 2x ¡ 8

(x ¡ 2)4

1)3

2x + 2

4x + 5

1)5

2)3 dx

2x + 5

4x + 5

1=2

p4x2

+ 4x + 5

(x 3)3

(2x + 1)3 dx

px2

¡ 6x + 5 dx

1=2

px2

0 cos2 x + 2 sin x cos x + 1

¼=4

x3 dx

Z px2 ¡ 2x + 10 dx

(4x2

12x + 10)5

3=2q

1)3

1; 16

9; 24

(x2 ¡ 2x + 10)3 dx

(4x

x2)5

(

6 x2p

2; 17

10; 25

x2 ¡ 6x

(3 + 2x x2)5

x + 1)

1:5

3¡

x2)5 dx

8)5

3; 18

11; 26

1)2 (x2

4; 19

(x + 2)

12; 27

¡x2

+ 1¢ dx

(2x

)

+ 4x + 8)

41:5q

¡42q

5; 20

13; 28

(x ¡ 2) dx

x2)5

5)5

(6x¡

(x2

+ 4x

0 q(x2 ¡ 4x + 8)3dx

(2x¡1)2p

6; 21

14; 29

x2¡6x+10

7; 22

(x¡2)2px2 ¡ 4x + 5 dx

15; 30

(x+1)2

(x2

+ 2x + 5)5

R0 (2x¡1)2p

8; 23

4x2¡4x+2

ЗАДАЧА 3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл и вычислить его, если он сходится.

1: x2 (x + 1)

2:	Z	x x2			1	3:	Z	x4	dx
	1		dx				1 x3 + 1
		p
	1	p		¡			1

4: Z1e¡4x cos 3x dx	5: Z1e¡x sin x dx	6: Z1x sin x dx
0	0	0

7: x ln x dx

1=e
10: Z	x ln2 x
		dx
0
1
13: Z		xdx

	x3 + 1
0
16: Z1	dx
	(x 1)2
1	¡

x2 + 2x + 2

9: Z

xpln x

¡1

( ¡p3 x5

12:

p5 x3

11:

x 1) dx

(x + 1) dx

¡1

14: Z1xe¡x2dx

15: Z1e¡p

17: Z

e¡2x sin 5x dx

18: Z

x ln3 x

1
19: Z	dx
	x + p		20:
	x + p	x	20:
0
22: Z1e¡x cos 2x dx			23:
0

Z1 ln x dx

x ¡ 1

x2e¡3xdx

21: xe¡xdx

24: pxdx

1 ¡ x2

25: Z

26: Z ln x dx

27: Z

x3 + 1

x2 + x

28: Z

xdx

29: Z

xdx

30: Z

e¡2x sin x dx

1 + x2

¡1

ЗАДАЧА 4. Изменить в двойном интеграле

Zb ÃZ(x)

dx	f(x; y) dy

a'(x)

порядок интегрирования. Сделать чертеж области интегрирования.

N a b						' (x)								Ã (x)						N a			b		' (x)								Ã (x)

					1 ¡ x2=9							p													¡p								2 ¡ x
1	0		3		1 ¡ x2=9							p			9 ¡ x2					2	0		2		¡p	4 ¡ x2							2 ¡ x
					p																				2							p
3	0		3		p						2	0								4	1		2		2		=4					p					2
3	0		3		¡ 3x ¡ x							0								4	1		2		x		=4							5 ¡ x
					p									p											p
5	0		4			4x ¡ x2												4x		6	1		4										6 ¡ x
5	0		4			4x ¡ x2												4x		6	1		4					x					6 ¡ x
					p																								2
7	0		3		p						2			3 ¡ x						8	0		5=2		4x				2			30 ¡ 2x
7	0		3		¡ 25 ¡ x									3 ¡ x						8	0		5=2		4x							30 ¡ 2x
							¡2x					p									¡1											5 ¡ x2
9	0		1				¡2x					p				4 + x2				10	¡1		1			4x						5 ¡ x2
					¡x ¡ 1							p									¡2				¡p							4 ¡ x2
11		0	6		¡x ¡ 1							p		36 ¡ x2						12	¡2		0		¡p	4 ¡ x2						4 ¡ x2
13		2	5			2 + x x2 ¡ 2x ¡ 8														14	¡4		2		x2 + 2x ¡ 7 3 ¡ x
								p						p							¡p		p		x2=2							p
15		1	9														9x			16		2		2										3 ¡ x2
15		1	9						x								9x			16		2		2										3 ¡ x2
					p																				p
17		0	2		p		2x ¡ x			2		2								18	0		2		p					2						2x
17		0	2				2x ¡ x					2								18	0		2		¡ 4 ¡ x											2x
		3		7								p									p		p		2
		3		7								p							2		p		p		2
19		2	2		0								4x ¡ x							20	¡ 3		3		x		=3				3
												p																				p
21		0	2		0									16 ¡ x2						22	1		6		1
21		0	2		0									16 ¡ x2						22	1		6		1											x + 3
23		0	3					2x2								x				24	¡1		1			3x					3(x + 1)=2

			7
25		0	3		0							2 ¡ x2=9								26	¡2		2		2x2						9
												10 ¡ x									¡2											p
27		0	4			x + 1						10 ¡ x								28	¡2		2		0							p			4 ¡ x2
								3x2																								p
29		0	4					3x2								12x				30	1		2		0							p	4x ¡ x2

ЗАДАЧА 5. Вычислить объем тела с помощью тройного интеграла, переходя к цилиндрическим или сферическим координатам.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
26.05.2014219.76 Кб61В. Б. Алексеев, С. А. Ложкин ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ, СХЕМ И АВТОМАТОВ.htm
#
26.05.2014130.26 Кб88Дискретка(исходные данные типового расчета 2семестр).pdf
#
26.05.2014212.39 Кб246Дискретная математика.pdf
#
26.05.2014259.58 Кб207Лекции по ДМ.doc
#
26.05.2014221.18 Кб179Решение задачи по дискретке.doc
#
26.05.2014438.78 Кб293Типовой расчёт. вар 63.doc
#
26.05.20141.03 Mб176Типовой расчёт. Вар. 57.doc